Área del triángulo si...

Enviado por jmd el 2 de Julio de 2013 - 17:10.

Si los enteros positivos $a,b,c$ son los lados de un triángulo rectángulo, y son tales que $a<b<c$ y $a+c=49$. Encontrar el área del triángulo.

Sugerencia

Por:

jmd

Sugerencia:

Combina la condición con Pitágoras y considera los casos que resultan.

Solución

Por:

jmd

Fecha:

8 Nov 2013

Solución:

Puesto que el triángulo es rectángulo y a,b,c están en orden creciente, se puede concluir que c es la hipotenusa y a y b los catetos.

Por Pitágoras se tiene que $a^2+b^2=c^2$. De aquí que, tomando en cuenta el dato de que $a+c=49$, $b^2=(c-a)(c+a)=49(c-a)$. Se sigue que c-a debe ser un cuadrado perfecto.

Si $c-a=1$, entonces $c=a+1$. Por tanto, $b=7,c=25,a=20$. Pero en ese caso a,b,c no están en orden creciente. (Esta conclusión se pudo hacer desde antes de estos cálculos, pues en $a,b,a+1$, no hay lugar para la $b$ --dado que los lados son enteros positivos.)

Si $c-a=9$ (no puede ser 4 pues ambos c y a serían de la misma paridad y...), entonces $b=21,a=20,c=29$. Se sigue que $ab/2=210$.

Si $c-a=25$, entonces $b=35, a=12, c=37$. De aquí que $ab/2=210$.

Y son todos los casos. En síntesis, hay dos triángulos rectángulos que cumplen las condiciones (20,21,29 y 12,35,37) y ambos tienen área 210 unidades cuadradas.

Por Euclides, tomemos la

Enviado por jmanin (no verificado) el 4 de Julio de 2013 - 18:23.

Por Euclides, tomemos la razón aúrea del segmento a+ c: (a+c) /c = c / a = (1+ 5^(1/2)) / 2 = phi ("Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor.). a < c por definición. Luego 49 / c = phi; c = 49 / phi = 30,28367. c/a =phi; a= c / phi = 30,28367 / phi = 18.71366. Por las propiedades de los triángulos: a mayor ángulo, mayor lado. Por definición, c es opuesto a 90º ,siendo por tanto c la medida de la hipotenusa y, “a”, la del cateto menor ya que a

Tomemos por hecho que a es un

Enviado por Usuario anónimo (no verificado) el 7 de Octubre de 2013 - 20:34.

Tomemos por hecho que a es un cateto de un triángulo rectángulo, y que a+1 es la hipotenusa del mismo triángulo rectángulo. Como sabemos que a^2+2a+1=(a+1)^2, y además a^2+b^2=(a+1)^2, por el teorema de Pitágoras, es igual a: a^2+b^2=a^2+2a+1, b^2=2a+1. Pero como ya sabemos que un cateto vale a y la hipotenusa vale a+1, entonces a+(a+1)=b^2, lo que vendría siendo lo mismo que la suma del cateto con la hipotenusa. Regresando al problema... a+c=49, entonces b^2=49, b=7. Para finalizar solo hay que hallar el área. Si el área se halla al multiplicar la base por la altura y dividirlo entre 2, y en un triángulo rectángulo, los catetos son la base y la altura, entonces en éste triángulo rectángulo, el área se obtiene mediante: 7(24)/2=84

OK. Pero ¿De dónde sale la

Enviado por jmd el 5 de Noviembre de 2013 - 11:56.

OK. Pero ¿De dónde sale la condición de que c=a+1?

Te saluda

esta muy completa esta pagina

Enviado por Usuario anónimo (no verificado) el 7 de Noviembre de 2013 - 21:35.

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Tenemos que a^2 + b^2 = c^2

Enviado por BRUCE CRUZ CABOS (no verificado) el 28 de Noviembre de 2013 - 10:16.

Tenemos que a^2 + b^2 = c^2 de lo cual tenemos que b^2 = c^2 - a^2 =(c+a)(c-a)= 49(c-a) Ahora, sea c-a=k^2 , entonces b=7k . Por otro lado c+a=49 y c=k^2 , entonces c=49+k^2/2 y a=(49-k^2)/2 Como a < b , entonces (49-k^2)/2 < 7k de esto tenemos que k^2+14k-49>0 operando tenemos que k>2,8 por tanto k>=3. Ademas podemos notar que 49 + k^2 debe ser par, entonces k es impar. Ahora si, veamos: -Si k = 3 entonces b = 21 a=20 y c=29 lo cual si cumple con la condicion a=7, entonces c>=49 de lo cual tendriamos que a<=0 lo cual es un absurdo ya que a debe ser un entero positivo. Por lo tanto la unica posibilidad es que los lados del triangulo sean 20, 21 y 29 , cuya area es 20*21/2 = 210.

Geometría [1]
Básico [2]