Triángulos en una circunferencia

Enviado por jmd el 28 de Abril de 2012 - 08:17.

Sean $AB$ es el diámetro de una circunferencia con centro en el punto $D$, y $C$ un punto en $AB$ de tal manera que $AC$ es la mitad de $CB$. Por el punto $C$ se traza una perpendicular a $AB$ que corta a la circunferencia en los puntos $E$ y $F$. Si el área del triángulo $ABE$ es de $60 cm^2$ ¿cuánto vale el área del triángulo $DEF$?

Por ser $AB$ diametro $AB$

Enviado por Paola Ramírez el 18 de Marzo de 2013 - 20:41.

Por ser $AB$ diametro $AB$ cortara a $EF$ a la mitad y en perpendicular sabemos que $2AC=CB$ digamos que $AC=2x$. $AB=6x$ podemos dividir a $(ABE)$ en seis areas iguales de base $x$ y altura $EC$entonces tenemos que cada triangulo de base $x=10cm^2$.

Podemos dividir a $EFD$ en dos triangulos $ECD$ y $FCD$ ambos rectangulos en $C$ y con $EC=CF$ sabemos que $CD=x$ y que $EC$ es altura de $ECD$ y de $AEB$ $\therefore$ tenemos que $(ECD)=x(EC)/2=10cm^2$ y que $(ECD)=(CFD)$ entonces $(EFD)=20cm^2$

¡Perfecto! Lo veo muy bien.

Enviado por jesus el 19 de Marzo de 2013 - 20:14.

¡Perfecto! Lo veo muy bien. Lograste evitar calcular EC, lo cuál habla muy bien del sentido geométrico que tienes.

Si quieres puedes hacer el ejercicio sencillo de calcular EC. A mi me da:

\begin{eqnarray}
EC &=& 2 \root 4 \of 2 \sqrt{10} \\
AB &=& 12 \root 4 \of 2 \sqrt{5}
\end{eqnarray}

Saludos

Colaboro con la figura (para

Enviado por jmd el 19 de Marzo de 2013 - 22:08.

Colaboro con la figura (para ayudar al razonamiento)

Y, bueno, aprovecho para sugerir otra ruta hacia la solución usando la simetría de la figura:

1) Es (relativamente) fácil darse cuenta que si $CA$ mide $2x$ entonces $DC$ mide $x$ (como correctamente lo deduce Paola);

2) y tampoco es difícil percatarse de que el área del triángulo $ACE$ es un tercio que la de $ABE$, es decir, $(ACE)=20$.

Pero entonces, por lo antedicho, $(CDE)=10$ y el resultado se sigue por simetría.

Los saluda