El 3 de Regiones

Enviado por jmd el 4 de Junio de 2009 - 13:28.

Sea $ ABC $ un triángulo rectángulo en $A$. La circunferencia con diámetro $AB$ corta a $ BC $ en $D$, y la circunferencia que pasa por $A, D,$ y el punto medio $O$ de $AB,$ corta a $CA$ en $P$ y corta nuevamente a $ BC $ en $Q$. Demuestra que $PQOA$ es un rectángulo.

Sugerencia

Por:

jmd

Sugerencia:

Busca mirar un arco desde dos punto de una circunferencia.

Solución

Por:

jmd

Fecha:

4 Jun 2009

Solución:

Por dato, el ángulo $A$ del triángulo es recto. Y como el ángulo $ADB$ está inscrito en la semi-circunferencia $ADB$, entonces $ADB$ también es recto. Para ver un rectángulo en el cuadrilátero $PQOA$, basta ver el arco $PQA$ --en la circunferencia que pasa por $A, O$ y $D$-- desde $D$ y desde $O$. (La clave, pero no es fácil de ver.) Como sabemos que en $D$, el ángulo es recto, se sigue que en $O$ también es recto (mismo arco interceptado). Y el resultado se sigue, por ser $PQOA$ cuadrilátero cíclico. (O bien, porque $AQ$ es diámetro.)

Ver también:

Arco interceptado (por un ángulo central) [1]

Ver también:

Ángulo inscrito (en un círculo) [2]

Ver también:

Cuadrilátero cíclico (o inscrito --en una circunferencia) [3]

Ejercicio: usar medianas a la

Enviado por jmd el 4 de Junio de 2009 - 18:41.

Ejercicio: usar medianas a la hipotenusa

El problema es engañoso porque da la impresión de ser más fácil de lo que realmente es. Por ejemplo, una pista falsa es la del punto medio: el cognizador gastará un tiempo precioso buscando probar paralelismo con línea media. Tampoco sirve buscar algo con la cuerda común y la línea de centros.

Una estrategia elemental que si funciona es la de probar que $AQ$ también es diámetro, con base en la mediana a la hipotenusa común de los triángulos rectángulos $OAP$ y $OQP.$

Ayuda:

Por dato, el ángulo en $A$ es recto, y concluimos que $PO$ es diámetro. Para probar que $AQ$ es diámetro tenemos que probar que $AQ$ pasa por el centro (denotémoslo con $R$). Para ello se trazan las medianas $AR$ y $QR$ a la hipotenusa común $OP$. Una vez hecho eso se emprende una cacería de ángulos con la idea de llegar a que en $R$ los ángulos son suplementarios.

El cognizador haría bien en dibujar la mediana $QR$ deliberadamente chueca (no alineada con la otra) para que no lo engañe la figura y suponga lo que tiene que demostrar (que $AQ$ pasa por $R$). Una vez demostrado que $AQ$ es diámetro el resultado se sigue.

Haz por venir... a MaTeTaM (Todos fueron convocados, pocos serán elegidos...)

Los saluda