Ostomachion, el cuadrado y sus partes

Enviado por jmd el 9 de Febrero de 2014 - 20:13.

En el cuadrado ABGD, sea E el punto medio de BG por el que levantamos la perpendicular EZ a BG (Z en AD). Trazaos las diagonales AG (del cuadrado) y BZ y ZG (de los rectángulos definidos por EZ en cuadrado). AG y BZ se cortan en F. Por el punto medio H de BE levantamos la perpendicular HT (T en BZ). Por H trazamos el segmento HK (K en BZ) de tal manera que H,K y A estén alineados. Trazamoe el segmento BM con M punto medio de AL. Con esto hemos dividido el rectángulo ABEZ en siete partes.

Para el otro rectángulo EGDZ, trazamos CN y EC (donde C y N son los puntos medios de ZG y DG, respectivamente). Trazamos ahora CO (donde O un punto en DG de tal manera que O, C y B estén alineados). Sea finalmente Q la intersección de FG y CE. Con esto hemos dividido el segundo rectángulo en siete partes. Por tanto todo el cuadrado queda dividido en 14 partes.

Calcular las áreas de las partes si sabemos que todo el cuadrado tiene 144 de área.

Solución

Por:

jmd

Fecha:

20 Feb 2014

Solución:

La figura es la siguiente

1) Puesto que M es punto medio de AL, los triàngulos AMB y MLB tienen la misma área.
2) Por otro lado, AF es mediana del triángulo AEZ, al igual que ZB (las diagonales se bisecan). Por tanto L es el baricentro de AEZ. De aquí que M y L trisecan AF.
3) Se sigue que la altura de L respecto a la base AZ es 2/3(6)=4. Por tanto, (ALZ)=12.
4) Como (ABZ) = 144/4=36 (pues el área de todo el cuadrado es 144) entonces (ABM)=(MBL)=12.
5) También se sigue (puesto que LF=AF/3) que la altura de L respecto a ZF es 6/3=2. Por tanto, (ZLF)=6(2)/2=6.
6) Por la misma razón (de que L es baricentro), la altura de L respecto a TF es 6/3=2. Pero TF=3. Por tanto, (TFL)=3(2)/2=3. De aquí que el área del pentágono HEFLT es 18+3=21.
7) Como BT es mediana del triángulo ABE, al igual que AH, se sigue que K es baricentro de del triángulo ABE. Por tanto BK/KT=2. Pero los triángulos BKH y KTH tienen la misma altura respecto a BT. Por tanto (BKH)= 2(KTH). Y como en total suman 9=(BTH), se concluye que (BKH)=6 y (KTH)=3.

Pasemos ahora al rectángulo EGDZ.

8) Es fácil ver que (CNG)=9 (pues GN=6 y CN=3).
9) Y como Q es baricentro del triángulo EGZ, se sigue que EQ=2QC. Por tanto, dado que (EGC)=6(6)/2=18, se sigue que (EQC)=12 y (QCG)=6.
10) Puesto que (EGF)= 18 y (EQG)=12, entonces (FEG)=6.
11) De manera similar, puesto que (FZG)=18 y (QCG)=6, se concluye que el cuadrilátero FQCZ tiene un área de 18-6=12.
12) En el triángulo BGO, CN es paralela a EG. Es decir, tenemos una configuración de Tales. Por tanto 12/3=(6+y)/y. Se concluye que y=2. De aquí que (CNO)=3.
13) Finalmente, el área del cuadrilátero CODZ se calcula como la diferencia de la del trapecio CNDZ menos la del triángulo CNO: (CODZ)=(CNDZ)-3=(6+3)6/2-3=27-3=24.

tiene buena esplicacion

Enviado por moises el 5 de Marzo de 2014 - 14:35.

tiene buena esplicacion

dan las todos los pasos de el

Enviado por moises el 5 de Marzo de 2014 - 14:40.

dan las todos los pasos de el trianhulo

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