Problema 4, IMO 2010

Enviado por jmd el 18 de Julio de 2010 - 17:25.

Sea $P$ un punto en el interior del triángulo $ABC$ con circunferencia circunscrita $\Gamma$. Las rectas $AP,BP,CP$ cortan otra vez a $\Gamma$ en los puntos $K,L,M$, respectivamente. La recta tangente a $\Gamma$ en $C$ corta a la recta $AB$ en $S$. Demostrar que si $SC=SP$ entonces $MK=ML$.

Solución

Por:

jmd

Fecha:

18 Jul 2010

Solución:

La figura que se deriva del enunciado sería más o menos como sigue (sin el arco $\widehat{BPA}$).

De acuerdo a los datos se tiene que $SC=SP$ y, por potencia de $S$, $SP^2=SC^2=SB\cdot SA$. Se sigue que $SP$ es tangente en $P$ al circuncírculo del triángulo $ABP$.

Queremos demostrar $\widehat{LM} =\widehat{MK}$.

Por el teorema de las cuerdas cruzadas [1] se tiene

$$\angle KPC=\frac{\widehat{MA}+\widehat{CK}}{2}$$

Por tanto, $\widehat{MA}=2\angle{KPC}-\widehat{CK}$. De aquí que:

$$\widehat{LM}=\widehat{LA}+\widehat{AM}=\widehat{LA}+2 \angle{KPC}-\widehat{CK}$$

$$=2 \angle{SPK}+2 \angle{KPC}-\widehat{CK}$$

Porque $\widehat{LA}=2 \angle{SPK}$, dado que los arcos $PA$ y $LA$ son interceptados por el $\angle{PBA}=\angle{LBA}$, respectivamente.

$$=2 \angle{PCS}-\widehat{CK}$$

Por ser el triángulo $CPS$ isósceles.

$$=\widehat{MC}-\widehat{CK}$$

Pues el ángulo $MCS$ es semi-inscrito, con arco interceptado $MC$.

$$=\widehat{MK}+\widehat{CK}-\widehat{CK}=\widehat{MK}$$

Como se quería.

Mi solución: Sabemos que por [2]

Enviado por el colado el 19 de Julio de 2010 - 03:38.

Mi solución:

Sabemos que $SC=SP$ por ser $SPC$ isósceles. Entonces $SC^2=SP^2=SB \cdot SA$ por potencia del punto $S$. De esta forma obtenemos que $SP$ es tangente al circuncírculo de $ABP$.

Definamos:

$\angle PAB=\alpha_1$

$\angle MCA=\theta_2$

$\angle CBL=\theta_1$

$\angle LBA=\beta_1$

$\angle KAC=\alpha_2$

Tenemos que $\angle SPB=\angle PAB=\alpha_1$ por ser el ángulo semi-inscrito al circuncírculo de $BPA$.

Sabemos que $\angle KPB=\alpha_1 + \beta_1$ por ser ángulo externo de $ABP$, entonces $\angle SPK=\beta_1$.

$\angle SCK=\alpha_2$ por ser semi-inscrito y abrir el arco $KC$.

$\angle KCB=\alpha_1$ por abrir el arco $KB$ al igual que $\angle KAB$.

Sabemos que $\angle ACL=\angle ABL=\beta_1$ por abrir el arco $LA$, aparte, $\angle KPC=\alpha_2 + \theta_2$ por ser ángulo externo al triángulo $APC$.

Como $SPC$ es isósceles, tenemos que $\angle SPC=\angle SCP$

de ahí que $\beta_1 + \alpha_2 + \theta_2=\alpha_2 + \theta_1 + \alpha_1$

luego, $\beta_1 + \theta_2=\theta_1 + \alpha_1$

sabiendo que $\angle MCL=\beta_1 + \theta_2$ y que $\angle KCM=\theta_1 + \alpha_1$, podemos concluir que $\angle MCL=\angle KCM$ de ahí que los arcos $KM$ y $ML$ sean iguales.. por lo tanto también sus cuerdas... así, concluimos que:

$KM=ML$ ■

Saludos.