Problema 7 (Ciudades, OMM_Tam_2010)

Por que nadie a puesto la solucion??? Bueno, publicare aqui en un post una forma de solucionarse de manera  mas euclidiana, sin trigonometria ni analitica. (Con algunos huecos pero me parecen muy claros)

1) Lo que me parece mas razonable seria nombrar la interseccion de CM y DN, nombremosla O.

2) Es claro por razones que no dire que los triangulos DCN y CBM son congruentes.

3) Y me parece aun mas claro que del punto se deduce 2) el triangulo CON es semejante a los dos anteriores.

4) De ahi es facil encontrar las medidas de CON y con ello su area.

Buenas tardes... yo lo hice de esta manera pero si esta equivocada de favor me dicen: utilizando lo que  puso brandon  tenemos que son congruentes los triangulos CDN Y BCM debido a que sus 3 lados son iguales.

CN=MB=0.5 cm,  (por ser puntos medios), y DC=CB= 1 cm y con  pitagoras tenemos que  CM=DM=√1.25. Tenemos que el angulo BCM= al angulo CDN por ser angulos correspondientes pero el angulo BCM forma parte tambien del triangulo CNO, y lo mismo sucede con el angulo CND forma parte del triangulo CNO y del triangulo CDN el cual es = al angulo CMB porque son angulos correspondientes (por la congruencia de los triangulos CDN y BCM). Por lo que el triangulo CNO es semejante a los otros dos triangulos asi que tambien es un triangulo rectangulo.

El valor de las hipotenusas de los triangulos BCM y CDN=√ 1.25

pero esto es igual a 0.5√5  porque √1.25= √125/100= √125 entre 10(sacando la raiz de 100) = √25x5 entre 10= 5√5 entre 10= 0.5√5 y sabemos que la hipotenusa del triangulo CNO=0.5  (por ser punto medio) y como son semejantes al dividir 0.5√5 / 0.5= √5, por lo tanto la razon entre sus lados = √5, asi que la razon entre sus areas = √5 X √5= 5 por lo que el area del triangulo CNO seria 5 veces menor a la de los otros dos triangulos por lo que el area seria: 0.25 cm^2 (area de los triangulos BCM y CDN ) entre 5 (razon de las areas con respecto al triangulo CNO) = 0.05 cm^2. Por lo que esta es el area de la zona sombreada.

SALUDOS...

Att. Luis German Diaz Zuñiga.

CBTis 105

Gracias... aunque la relación sobre las áreas y la razón de semejanza me lo enseño mi maestra de la secundaria (la maestra aracely... que es bien buena onda...jajaja) porque en el libro que teniamos venia algo sobre ese tema.

SALUDOS...

Att. Luis German Diaz Zuñiga

CBTis 105