Valor de la potencia de un punto

Como se sabe, la potencia de un punto P es la misma para cualquier secante (ver el GBC-teorema de la potencia con secantes [1]. En particular, podemos escoger la secante que pasa por el centro O del círculo. En ese caso la potencia de P respecto a c está dado por $(PO-r)(PO+r).$  Es decir, el valor de la potencia de un punto P depende solamente del centro del círculo y de su radio. Si denotamos con $d$ la distancia del punto al centro de $c$ se tiene que la potencia de $P$ respecto a $c$ es $d^2-r^2.$

Nota:

Si todavía quedara alguna duda sobre el valor de la potencia de un punto P respecto a la circunferencia $c$ considere el lector una secante que corte a $c$ en A y B, y sea M el punto medio de la cuerda AB. Después de recordar el hecho de que el radio que biseca a la cuerda es perpendicular a ésta, el lector puede aplicar Pitágoras al triángulo rectángulo AMO para obtener $AM^2=r^2-OM^2.$ (Y también al PMO para obtener $PM^2=d^2-OM^2.$) Y si ahora aplica la definición de potencia obtendrá $$PA\cdot PB=(PM-AM)(PM+AM)=PM^2-AM^2=d^2-OM^2-r^2+OM^2= d^2-r^2.$$