Sea $P(X,Y) = 2X^2 - 6XY + 5Y^2$. Diremos que un número entero $A$ es un valor de $P$ si existen números enteros $B$ y $C$ tales que $A = P(B,C)$.
- i) Determinar cuántos elementos de $\{1, 2, 3, ... ,100\}$ son valores de $P$.
- ii) Probar que el producto de valores de $P$ es un valor de $P$.
hola, $ 2x^2 - 6xy + 5y^2 [1]
hola,
$ 2x^2 - 6xy + 5y^2 = (x-2y)^2 + (x-y)^2 $ demostremos que para cualesquiera enteros (con cero inclusive) a,b $a^2 + b^2$ es un valor de P haciendo $ x = 2b - a ; y = b - a$ lo comprobamos.
Luego para el inciso a): ¿Cuantos $x$ con x<101 cumplen que existen enteros a,b tal que $a^2 + b^2 = x $ con esto se puede ver que a,b < 10, y ya solo checamos las combinaciones con esta acotacion, quitamos los que sean mayores a 100 y los repetidos, y resultan ser 35 numeros.
Para el inciso b) es claro que solo hay que demostrar que el producto de dos valores de P es otro valor de P.
Digamos que un valor de P es $a^2 + b^2$ y otro es $c^2 + d^2$ para cualesquiera valores de a,b,c,d. luego hay que demostrar que:
$ ( a^2 + b^2)(c^2 + d^2) $ es suma de cuadrados. (denotemoslo por $z$ )
$z = (ad)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + (bd)^2 = (ad - bc)^2 + (ac + bd)^2$ como se queria.
Saludos
Germán.