Residuo de una serie de potencias

Enviado por jmd el 29 de Abril de 2012 - 11:25.

Encontrar el residuo de dividir entre 5 el número $N= 1 + 4 + 4^2 + 4^3 + 4^4 +\ldots+4^{2007}$

Sugerencia

Por:

jmd

Sugerencia:

No intentes calcular $N$ y después hacer la división. Hay métodos indirectos. ¿Cuánto es $(0+0)+(0+0)+...$?

Solución

Por:

jmd

Fecha:

13 Feb 2009

Solución:

Notemos que 4x4=16, que 16x4=64, que 64x4=256, etc. Calculando varios términos de la suma tienes que ver el patrón que sirve: vistos por sus terminaciones son 4, 6, 4, 6,... (excepto el primer término que es 1). Si este patrón lo combinamos con el criterio de divisibilidad entre 5 ¿que obtenemos? El resto se deja al lector.(Baste decir que$ 4^{2007}$ termina en 4 --de acuerdo con el patrón descubierto-- y entonces...¿con cuál termino conviene aparearlo?)

4 a la cero, igual a 1, es

Enviado por cuauhtemoc el 29 de Abril de 2012 - 15:01.

4 a la cero, igual a 1, es congruente 1 módulo 5.

4 es congruente -1 módulo 5 .

4 al cuadrado es congruente 1 módulo 5 (elevando al cuadrado ambos miembros de la conruencia).

4 al cubo es congruente -1 módulo 5 (elevando al cubo los dos miembros).

Por cada exponente par el residuo es 1 y por cada exponente impar el residuo es -1. Como hay 1004 exponentes pares y 1004 exponente impares, el residuo es cero, es decir el número N es divisible por 5.

(1)(1004) + (-1)(1004) = 0

Primero se usan las leyes de

Enviado por Usuario anónimo (no verificado) el 11 de Junio de 2013 - 16:44.

Primero se usan las leyes de los exponentes para obtener 4+4(al cuadrado)+4(al cubo)+.....+4(a la 2007) utilizando la suma de gauss (n)(n+1)/2 (2007)(2008)/2 40'030,056/2=20'015,028 Entonces se tiene que si 4/5=reciduo 4, 4(al cuadrado)/5=reciduo 1, 4(al cubo)/5=reciduo 4, 4(a la 4)=reciduo 4, cada exponente par dara como reciduo al ser dividido entre 5 a 4 (porque el ultimo digito es 4) y cada exponente non dara como reciduo a 1 (porque el ultimo digito es 6), el exponente es un numero par, lo que quiere decir que tiene el ultimo digito como 6, sumando 1 es 7 y su reciduo seria 2

Todo tu razonamiento es

Enviado por jesus el 19 de Junio de 2013 - 14:23.

Todo tu razonamiento es correcto, únicamente te equivocaste en esta parte:

1 (porque el ultimo digito es 6), el exponente es un numero par, lo que quiere decir que tiene el ultimo digito como 6,

El último exponente es impar (2007) por lo que el último residuo es 4 y no 6. Lo que te daría como resultado que el residuo de la suma debe ser cero.

Saludos

P.D. No veo la necesidad de la suma de gauss en tu argumento.