Encuentra todos los enteros no negativos $a$ y $b$ que satisfacen la ecuación $3\cdot 2^a+1=b^2.$
Encuentra todos los enteros no negativos $a$ y $b$ que satisfacen la ecuación $3\cdot 2^a+1=b^2.$
Enlaces:
[1] https://www.matetam.com/problemas/numeros
[2] https://www.matetam.com/categoria/nivel/intermedio
Hola. El problema es
Hola. El problema es muy sencillo. He aquí mi solución, completamente elemental:
Tenemos que:
$\displaystyle \left(b-1\right) \mid 3\left(2^{a}\right)$,
$\displaystyle \left(b+1\right) \mid 3\left(2^{a}\right)$
$\displaystyle \left(3,\ 5\right)$
$\displaystyle \left(4,\ 7\right)$
Muestro mi solución, algo
Muestro mi solución, algo diferente a la de Alexander.
Supongamos, que $5\leq a$ entonces, en $3.2^a+1=b^2$ vemos que $b$ debe de ser impar, entonces existe un netero positivo $k$ tal que $b=2k+1$ entonces tendremos $3.2^a+1=(2k+1)^2$ lo que es equivalente a $3.2^a=(2k+1)^2-1=4k(k+1)$ y como $5\leq a$ entonces $2^{a-2}\geq8$ en la ecuación tendremos $3.2^{a-2}=k(k+1)$ y dado que $k$ y $(k+1)$ son coprimos y enteros consecuticos, entonces $k=1$ ó $k=3$ pero notemos que si $2^{a-2}\geq8$ entonces $3.2^{a-2}\geq24$ pero $k(k+1)$ es a lo sumo $12$ para $k=3$ por lo tanto no hay igualdad en $3.2^{a-2}=k(k+1)$ para $5\leq a$ entonces concluimos que $a< 5$
Viendo los casos para $a< 5$ tenemos las soluciones
$(a,b)=(0,2),(3,5).(4,7)$