Llevar o no llevar: that's the question

Enviado por jmd el 24 de Mayo de 2014 - 21:31.

1.1. Se forman tres números enteros de tres cifras, abc,def,ghi, donde cada letra representa un dígito del 1 al 9 sin que se repitan. Si la suma de los tres números termina en 65 ¿cuál es el valor de dicha suma?

Primero aclaremos que la

Enviado por Jonathan Galvan... el 19 de Junio de 2014 - 17:27.

Primero aclaremos que la máxima suma posible es 9+8+7=24.

Es imposible que la suma de las unidades sea 5 porque no hay 3 números distintos que al sumarlos den 5, entonces el 5 es un 15 al que se le quitaron las decenas. Entonces las unidades serían 6+8+1, 5+8+2, 9+1+5, 9+2+4 o bien 4+5+6.

Para que en el dígito de las decenas haya un 6 se necesita que las decenas sumen 15 y al sumarles el 1 del 15 anterior obtendremos como resultado un 16.

Necesitamos tomar una de esas sumas que dan 15 sin que interfiera para tomar alguna de las otras y las únicas dos que no interfieren la una con la otra son 6+8+1 y 9+2+4 (en cualquier otra combinación se repetiría un número) entonces una de ellas corresponde a las unidades y la otra a las decenes, es indistinto cuál tomemos ya que el resultado no variará, los únicos 3 números que no hemos tomado son el 3 el 5 y el 7.

Hasta ahora tenemos una suma de 65 y llevamos un 1 hacia las centenas entonces la suma de las centenas sería 3+5+7=15+1=16 (el último 1 es el que llevábamos de la suma de las decenas). Por lo tanto la suma final es de 1665.

No estás considerando todas

Enviado por jesus el 21 de Junio de 2014 - 16:17.

No estás considerando todas las posibles sumas que dan 15, sólo consideraste las siguientes 5.

6+8+1, 5+8+2, 9+1+5, 9+2+4 o bien 4+5+6.

Pero te faltaron 2 más, por ejemplo 7+5+3; que por cierto no interfiere con 9+4+2.

Bueno, sí le faltaron dos

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2014 - 15:15.

Bueno, sí le faltaron dos posibles sumas pero no se trataba de encontrarlas todas sino de encontrar la suma. Creo que la clave del problema es darse cuenta que la única posible suma para centenas es 15. Y dar un ejemplo.

Y como lo argumenta acertadamente Jonathan al principio de su comentario, al sumar en las unidades es 15 ("5 y llevamos una"). Y en las decenas es 16 ("6 y llevamos una").

Si generamos las posibles sumas de 15 en orden lexicográfico tenemos

159 249 348 456

168 258 357

267

(A Jonathan le faltaron la 267 y la 357 --aunque ésta sí está en su ejemplo.)

De ahí se pueden elegir tres que cumplan y ya está. Por ejemplo:

123

645

897

O bien, eligiendo 159 de la primera columna, de la segunda queda obligada la 267. Así que la tercera debe ser 348. Esto da lugar a la suma

123

564

978

De hecho, al elegir dos la tercera queda determinada. Y, bueno, hay sutilezas que son muy fáciles de ignorar . Por ejemplo, quizá habría que decir que la suma 4+5+6 excluye todas las demás. Así que la elección debe hacerse con las tres primeras columnas.

Y, bueno, las posibilidades no son muchas. (Creo que esas dos son las únicas.)

La pregunta es: si no generó todas las posibles sumas ¿cuántos puntos saca?

Los saluda

Ciertamente el problema no

Enviado por jesus el 2 de Agosto de 2014 - 10:32.

Ciertamente el problema no pide encontrar todas las sumas; únicamente pide encontrar la suma y Jonathan la encuentra. Pero el argumento deductivo de Jonathan se basa en que todas las sumas son "6+8+1, 5+8+2, 9+1+5, 9+2+4 y 4+5+6", lo cuál es incorrecto.

El afirma, "las únicas dos que no interfieren la una con la otra son 6+8+1 y 9+2+4" (falso, si hubiera metido todas las sumas) y de con esto puede afirmar que la suma de las centenas debe ser 3+5+7 (las sumas de las centenas pueden ser otras). Entonces, el hace una deducción del valor tras equivocarse al poner todas las sumas, de no haberse equivocado ¿cuál hubiera sido su argumento ahora? ¿Hubiera podido encontrar el número? Obviamente se puede encontrar, pero ya no obtendría que las centenas son 3, 5 y 7. Pero, ¿qué haría Jonathan? o ¿cómo él cree que puede corregirlo? es lo que me interesaba conocer.

Sobre cómo afecta esto su puntuación, no tengo una idea clara, pues conozco poco de este concurso. Si se tomara literal el enunciado, bastaría con mostrar una suma con las condiciones; pero eso sería típico de un problema de opción múltiple, no de un examen escrito donde el alumno tiene que escribir una justificación.

Por lo que, yo apostaría a que lo que se evalúa aquí es la justificación, entonces, se buscaría que el alumno argumente que la única suma posible es "1665". Y aunque el argumento de Jonathan está bastante bien no logra demostrar la unicidad de este valor. Cuantificando, creo que su puntuación podría estar entre 4 y 6 puntos (en una escala de 7).

Saludos
Jesús

P.D. Para evitar confusiones, yo hubiera redactado la pregunta final de este problema algo así: "¿cuál es el valor o los valores posibles de dicha suma?"