El modelo algebraico para las condiciones implícitas en el diálogo (con a = las unidades que Abel tiene, y b = las unidades que Bárbara tiene) es:
$(a+n)=2(b-n)$ o $a+n=2b-2n$
$n(a-2)=(b+2)$ o $na-2n=b+2$
Resolviendo para $ a $ (despejando $ b $ de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera) se obtiene: $a=(7n+4)/(2n-1).$ La condición implícita es que este valor debe ser entero.
Para obtener los valores posibles de n hay que hacer la división para quedarnos sólo con la parte fraccionaria que esté en duda que sea entera:
$(7n+4)/(2n-1)=3+(n+7)/(2n-1)$
El problema entonces se reduce a averiguar para qué valores enteros positivos de $ n $ el cociente $(n+7)/(2n-1)$ es un entero. Para ello primero observemos que si n es 10 o mayor, el cociente es menor que 1. Para mayor exactitud se puede resolver la desigualdad $ n+7 ≥ 2n-1$, lo cual resulta en $n≤8$. Esto demostraría que no hay valores de n mayores que 8.
Los valores de n se pueden obtener por tanteos llenando una tabla de dos columnas: n y el cociente. Los valores de n que cumplen son: 1, 2, 3, 8.
A continuación está la solución alternativa del problema 9 de ciudades que coincide con la segunda parte de este problema:
Solución alternativa (a la segunda parte)
El siguiente hecho es obvio y muy útil para este tipo de problemas de concurso: “si $a/b$ es entero entonces $(ax + by)/b$ es entero para $x, y$ enteros” La forma de usarlo es elegir los valores de $x, y$ de manera que el numerador quede lo más simple posible.
Eligiendo $x = 2, y = -7$, se logra ver que si $(7n + 4)/(2n - 1)$ es entero, entonces $15/(2n – 1)$ es también entero. En otras palabras, si este último cociente no es entero entonces el primero tampoco lo es. Esto permite reducir la búsqueda a los divisores de 15. Es decir, a las n tales que $2n – 1$ es divisor de 15. Verificando cada posibilidad se obtiene la solución anterior. Los valores de n que cumplen son: 1, 2, 3, 8.
