$n$ y $n^2$ con misma terminación. Selectivo 2016

Enviado por Orlandocho el 28 de Agosto de 2016 - 13:59.

Encuentra todos los números naturales $n$ de tres dígitos que son iguales al número formado por los tres últimos dígitos de $n^2$.

Sugerencia

Sugerencia:

Hay una solución natural en la que debes observar de las unidades hacia adelante, cómo pueden ser los dígitos.

Solución

Solución:

Sea $n$ un número que cumple. Por lo tanto $n^2-n$ debe ser un múltiplo de 1000. Dicho de otra manera $n(n-1)=2^3 \cdot 5^3k$. Como $n$ y $n-1$ son números consecutivos, por lo tanto, también son primos relativos. Notemos que $\frac{n(n-1)}{2^3 \cdot 5^3}=k$ es un entero, pero como $n$ y $n-1$ son primos relativos, solo uno de ellos tiene factores 2 y solo uno de ellos tiene factores 5. Tenemos los siguientes casos:

$1000|n$. Pero no hay números de tres dígitos que cumplan eso.
$1000|n-1$. Pero no hay números de tres dígitos que cumplan eso.
$2^3|n$, $5^3|n-1$. Los múltiplos de 125 de tres dígitos son 125, 250, 375, 500, 625, 750 y 875, de ellos el único que al sumarle 1 resulta un múltiplo de 8 es el 376.
$2^3|n-1$, $5^3|n$. De los múltiplos de 125 de tres dígitos que al restarle 1 dan un múltiplo de 8 es el 625.

Por lo tanto $n=376$ o $n=625$.