Olimpiada Iberoamericana (el 5 de 1985)

Veremos ammm....

$f(1985)=f(5*397)=f(5)+f(397)$ como $f(10)=f(2*5)=f(5)+f(2)=0\Rightarrow f(5)=f(2)=0$ de ahi

$f(1985)=f(397)$ por otro lado $f(3573)=f(9*397)=f(9)+f(397)=0\Rightarrow f(397)=f(9)=0$

Por lo que $f(1985)=0$

Esta padre hahaha, sin muchos problemas sale saludos!!!!!

Se me olvidaba mencionar el por que dije que eran ceros los $f(x)$, es debido a que como los $x's$ son naturales, entonces $f(x)$ tambien lo sera, no pueden tomar valores negativos, amm como se pone haha creo que se conoce como algo asi:

$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ incluso la ultima parte se puede ver como $f(9)=f(3)+f(3)=0$

saludos!!!!!!!

Una nota curiosa: el problema es de 1985 y en el enunciado dice "A cada número natural se le asigna un entero no negativo..." ¿Por qué es esta redacción una curiosidad? Bueno porque los matemáticos se pueden clasificar en dos clases: en aquéllos que sostienen que los naturales es el conjunto {1,2,...} y en los que sostienen que los naturales es el conjunto {0,1,2,...}. Y ambos grupos tienen un argumento válido para sostener su dicho y es el mismo. Ambos grupos argumentan "los naturales son los números que se usan para contar"

Ahora el problema viene cuando se pregunta uno por el significado de "contar". El segundo grupo dice: lo que  se cuenta es el número de elementos de los conjuntos finitos, por lo tanto en los naturales está incluido el cero porque es la cardinalidad del conjunto vacío. El primer grupo dice: ... pero si tienes un conjunto vacío entonces no hay necesidad de contar, luego el cero no está incluído en los naturales.

Como los dos argumentos parecen correctos, se ha adoptado la frase "enteros no negativos" para los naturales que incluyen el cero, y "enteros positivos" para los naturales que no lo incluyen. Esta convención algo incómoda se adoptó seguramente después de 1985. Porque si uno lee entre líneas el enunciado "naturales" y "enteros nonegativos" deben se dos cosas distintas (de otra manera no había necesidad de usar dos nombres para los mismo). Y se entiende que los naturales para los matemáticos que redactaron el problema en 1985 es el conjunto {1,2,...}.

De cualquier manera, el concursante quizá pudo preguntar al jurado por el significado de "naturales" y pudo así concluir, como Brandon, que se trataba de una función $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$, pero la segunda N debe ser más el cero (o unión el cero). Y esto para que en $0=f(10)=f(2\cdot 5)=f(2)+f(5)=0$ se concluya que $f(5)=0$ y $f(2)=0$ (Porque la suma de dos no negativos es cero si y sólo si ambos son cero.)

Los saluda