Problema 6

 Para que el número que resulta del producto $180N$ sea un cubo perfecto, sus factores primos deben estar elevados al menos al cubo (o a la potencia múltiplo de 3 más cercana posible). Vemos que la factorización canónica de 180 es $2^{2}3^{2}5^{1}$ . Luego $N$ debe de "complementar" a los factores primos de $180$ para que en $180N$ estén a la potencia múltiplo de 3 más cercana, que en este caso en los 3 factores primos sería 3, por lo que $N = 2^{1}3^{1}5^{2}$ y  así $180N = (2^{2}3^{2}5^{1})(2^{1}3^{1}5^{2}) = 2^{3}3^{3}5^{3} = 30^{3} $, que es en efecto un cubo perfecto. Finalmente el mínimo valor posible de $N$ es $2^{1}3^{1}5^{2} = 150$

   

Disculpa desde mi punto de vista y no es por ofender la respuesta a mi consideración es 20 yo resolví ese mismo problema Primero determine los divisores de 180 que son 1,2,3,4,5,6,10,12,15,18,20,60,90, 180 elimine todos los que fueran iguales o menores a 180/10=18 y me quedaban 20,60,90, y 180 180 lo multiplicó por el divisor más pequeño que quedó (20) 180x20 = 3600 para comprobar a 3600 le saco raíz √3600 = 60 y finalmente se que la incógnita es 20

Solo que el problema decía que fuera un cubo perfecto (tiene raíz cúbica, o desde otro punto de vista es un entero multiplicado por si mismo 3 veces), y 3600 es un cuadrado perfecto (un entero multiplicado por sí mismo, que es para 3600 = 60x60 = $60^2$ ) , mas no un cubo perfecto. Y disculpa la pregunta, ¿a qué se debe el razonamiento de eliminar los menores a 18? Como otro dato, si quisieras ver el mínimo $N$ para cuando $180N$ es un cuadrado perfecto, igual viendo que $180= 2^23^25$ razonamos que para "complementarlo", necesitaríamos $N=5$, y así $180N = (2^23^25)(5) = (2^23^55^2) = 30^2 = 900$ .

Saludos, Alain Rivera.