Problema cuadrático

¡Claro! Dan como hipótesis que $c$ y $d$ son números enteros consecutivos.  Por alguna extraña razón, no noté la presencia de esa hipótesis la primera vez que ví la entrada. Bueno, una vez dicho eso vamos a la prueba:

Al ser $d=c+1$ se sigue que $x-y= x^{2}c-y^{2}(c+1)$ y por tanto

$y^{2} = c(x^{2}-y^{2})-(x-y) = (x-y)[c(x+y)-1].$

Si consideramos ahora la sustitución $z=x-y$ la identidad anterior puede reescribirse como

$y^{2} - 2zcy + (z-z^{2}c) = 0$

y de aquí que la expresión $z[zc(c+1)-1]$ sea un cuadrado perfecto. Como $z$ y $zc(c+1)-1$ son números coprimos concluimos que $z=x-y$ es un cuadrado perfecto y esto finaliza la demostración.

Q.E.D.

Gracias por la colaboración Coquitao. El gran truco del problema es que la demostración de la coprimalidad se logra a través de una cuadrática.

En la primera factorización se buscaría probar la coprimalidad de los factores. Pero no es claro cómo.

Con el cambio de variable se llega a una cuadrática en $y$. Como $y$ es entero sus soluciones tienen que ser enteras...

Ejercicio para los novicios: llenar los huecos en la demostración de Coquitao... (Por ejemplo ¿por qué coprimalidad? ¿cómo sabes que los factores en el argumento final son coprimos? ¿de dónde salieron esos factores?)

Los saluda