Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

Problema 4. 21a OMM Final Estatal

Enviado por vmp el 2 de Agosto de 2022 - 16:02.

Dos personas A y B van a jugar un juego alternando turnos; A toma el primer turno. Para el juego está dibujada sobre un papel una cuadrícula de 7 × 7. En cada turno se borran algunos de los cuadritos como sigue: El jugador en turno escoge un cuadrito y borra toda la columna y el renglón a los que pertenece ese cuadrito dentro de la porción rectangular donde está en ese momento el cuadrito. Por ejemplo, si al principio A escoge
el cuadrito marcado con 1 en la figura (a) de abajo, a B le queda la figura (b) y, si él escoge el cuadrito marcado con 2, entonces para el siguiente turno a A le queda la figura (c).

Problema

Problema 3. 21a OMM Final Estatal

Enviado por vmp el 26 de Julio de 2022 - 15:24.

En la figura, $ABC$ es un triángulo isósceles con $|AB| = |AC|$; $D$ es un punto sobre $AC$ tal que $DB$ es perpendicular a $BC$; $E$ es un punto sobre la recta $BC$ tal que $|CE| = 2|BC|$ y $F$ es un punto sobre $ED$ tal que $FC$ es paralela a $AB$. Probar que la recta $FA$ es paralela a $BC$.

Problema

Práctica de módulos

Enviado por vmp el 25 de Julio de 2022 - 09:40.
Prueba que no existe entero $n$ tal que la suma de los dígitos de $n^2$ es $2022$
Problema

Problema 4 - IMO 2022 - Un cíclico a partir de un pentágono

Enviado por jesus el 20 de Julio de 2022 - 11:19.
Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $BC = DE$. Supongamos que existe un punto $T$ en el interior de $ABCDE$ tal que $TB = TD$, $TC = TE$ y $\angle ABT = \angle TEA$. La recta $AB$ corta a las rectas $CD$ y $CT$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Supongamos que los puntos $P$ , $B$, $A$, $Q$ aparecen sobre su recta en ese orden. La recta $AE$ corta a las rectas $CD$ y $DT$ en los puntos $R$ y $S$, respectivamente. Supongamos que los puntos $R$, $E$, $A$, $S$ aparecen sobre su recta en ese orden. Demostrar que los puntos P , S, Q, R están en una misma circunferencia
Problema

Problema 5 - IMO 2022 - Redacción corta pero peligrosa

Enviado por Samuel Elias el 14 de Julio de 2022 - 20:38.

Hallar todas las ternas (a,b,p) de números enteros positivos con p primo que satisfacen

ap = b! + p

Problema

Típica probabilidad de dados y monedas

Enviado por Samuel Elias el 11 de Julio de 2022 - 16:36.

Se va a lanzar al mismo tiempo un dado con los números del 1 al 6 y una moneda con los números 1 y 2. ¿Cuál es la probabilidad que la multiplicación de los números que caigan en la moneda y el dado sea un número impar? 

Problema

Hexágono dentro de triángulos equilateros.

Enviado por Samuel Elias el 11 de Julio de 2022 - 16:34.

La siguiente figura está formada por 6 triángulos iguales de lado igual al doble del lado del hexágono central. ¿Qué fracción de la figura completa representa el hexágono central?

Problema

Ten cuidado con las salsas

Enviado por Samuel Elias el 11 de Julio de 2022 - 16:31.

El siguiente cuadrado tenía los números del 1 al 9 escritos en él, pero se manchó con catsup y ahora se ve así. Por suerte sabemos que la suma de los vecinos del 9 era 15. ¿Cuál es la suma de los vecinos del 8?
Nota: Dos números se consideran vecinos si los cuadrados en los que están escritos comparten un lado.


 

Problema

Problema técnico de primos

Enviado por Samuel Elias el 11 de Julio de 2022 - 16:27.

Encuentra la suma de los números primos que dividen a todos los números de 3 dígitos con todos ellos iguales.

Problema

Torneo de Ping Pong

Enviado por Samuel Elias el 11 de Julio de 2022 - 16:24.

En una escuela hubo un torneo de Ping Pong. La escuela cuenta con 2 mesas para jugar y en total hubo 6 partidos. Los partidos duraron 8, 10, 12, 17, 21 y 22 minutos y es posible comenzar un partido justo al terminar el anterior. Si el torneo comenzó a las 9:00 de la mañana, ¿a qué hora es lo más temprano que pudo terminar el torneo?

Problema

Los favoritos de Claudia

Enviado por Samuel Elias el 10 de Julio de 2022 - 21:19.

Claudia escribe una lista de sus 11 números favoritos más pequeños. El primero es el 5 y el tercero es 13, además, se dió cuenta que todos los números excepto el primero y el último resultan ser el promedio de los dos números que tiene a lado. ¿Cuál es el último número de su lista?

Problema

Uno imposible de un octágono

Enviado por Samuel Elias el 10 de Julio de 2022 - 21:17.

El área total del siguiente octágono es de 2022 cm2, ¿cuál es el área de la región sombreada?

Problema

Multiplica las fechas

Enviado por Samuel Elias el 10 de Julio de 2022 - 21:12.

En una fecha escrita de la forma aa/mm/yy o a/m/yy se multiplican los digitos usados para escribirlas, por ejemplo 24/12/22 da 2x4x1x2x2x2=64 o 5/8/22 da 5x8x2x2=160. ¿Cuántas fechas de la década de los 2020's cumplen que la multiplicación de los dígitos da 120?

Problema

Suelo con mosaicos

Enviado por Samuel Elias el 10 de Julio de 2022 - 21:05.

Un suelo se va a llenar con mosaicos como el siguiente, formado por mosaicos cafés más pequeños como los mostrados en la figura. El área blanca se llenará con mosaicos azules del mismo tamaño que el café. Al llenarse todo el suelo se utilizaron 192 cafés, ¿cuántos mosaicos azules fueron necesarios? 

Problema

Piezas rectangulares con área 240

Enviado por Samuel Elias el 10 de Julio de 2022 - 21:02.

Se van a construir piezas rectangulares de área 240 cmy con ambos lados entero. ¿De cuántas formas distintas se puede hacer?

Problema

Halla el perímetro

Enviado por Samuel Elias el 9 de Julio de 2022 - 15:08.

Sobre los lados de un cuadrado de 20 x 20 cm se dibujan cuadrados de 5 x 5 cm como se muestra en la figura. ¿Cuál es el perímetro de la siguiente figura? 

Problema

Fichas de dominó

Enviado por Samuel Elias el 9 de Julio de 2022 - 13:23.

Pancho hizo una hilera con 7 fichas de dominó de manera que los lados con el mismo número de puntos quedaron uno al lado del otro. Originalmente la hilera tenía un total de 33 puntos, pero el hermanito de Pancho se llevó dos de las fichas. ¿Qué cantidad de puntos había en el lugar que señala la flecha en la figura?


Problema

P3 IMO 1993 - Tablero de ajedrez infinito

Enviado por jesus el 3 de Julio de 2022 - 13:52.

Sobre un tablero de ajedrez infinito se juega de la siguiente manera:

Al principio hay $n^2$ fichas dispuestas sobre el tablero en un cuadrado de $n\times n$ de casillas adyacentes, con una ficha en cada casilla. Cada jugada es un salto de una ficha en dirección horizontal o vertical sobre una casilla adyacente, ocupada por otra, hasta una no ocupada, contigua a ella. La ficha sobre la que se ha saltado se retira. Halle los valores de $n$ para los que el juego puede terminar quedando una única ficha en el tablero.

Problema

Subconjuntos con promedio entero

Enviado por German Puga el 30 de Diciembre de 2021 - 21:59.
Un conjunto de $n$ números enteros positivos distintos es $\textit{equilibrado}$, si el promedio de cualesquiera $k$ números del conjunto es un número entero, para toda $1 \leq k \leq n$. Encuentra la mayor suma que pueden tener los elementos de un conjunto equilibrado, con todos sus elementos menores o iguales que 2017.
Problema

Secuencia de conjuntos no vacios (OMM 2021 P6)

Enviado por jesus el 18 de Diciembre de 2021 - 15:32.

Determina todos los conjuntos no vacíos $C_1, C_2, C_3, \dots$, tales que cada uno de ellos tiene un número finito de elementos y todos sus elementos son enteros positivos, con la siguiente propiedad: Para cualesquiera enteros positivos $m$ y $n$, la cantidad de enteros positivos en el conjunto $C_m$ más la cantidad de enteros positivos en $C_n$ es igual a la suma de los elementos en el conjunto $C_{m+n}$.

Nota: Al denotar con $|C_k|$ la cantidad de elementos de $C_k$ y con $S_k$ la suma de los elementos de $C_k$, la condición del problema es que para $m$ , $n$ enteros positivos se cumple

$$|C_n|+|C_m| = S_{m+n}$$