Álgebra

Problema

Suma de potencias múltiplo de 7

Enviado por jmd el 16 de Agosto de 2010 - 18:05.

Demostrar que para $ n $ entero no negativo, la función $ f(n)=4^{2^n}+2^{2^n}+1 $ es múltiplo de 7.

 
Problema

Coeficientes de una expresión cuártica

Enviado por jmd el 13 de Agosto de 2010 - 10:56.

Calcular el valor de la expresión $ (a_0+a_2+a_4)^2-(a_1+a_3)^2 $, donde los $ a_i $ son los coeficientes de la expansión de  $ (2x+\sqrt{3})^4 $:

$$(2x+\sqrt{3})^4=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$$

 

 
Problema

Función convexa aplicada a un promedio

Enviado por jesus el 12 de Agosto de 2010 - 10:44.

Sea $ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} $ una función punto medio convexa, es decir, que satisface que:

$$f\left( \frac{x+y}{2} \right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2} $$
para toda pareja de números reales  $ x,y \in \mathbb{R} $.

Demostrar que para cualesquiera números reales $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ se satisface la siguiente desigualdad:

\[ f \left(\frac{a_1+a_2+ \cdots +a_n}{n} \right) \leq \frac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots +f(a_n)}{n}. \](1)

 
Problema

Composición de la función "suma de sus dígitos"

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 07:29.

Para un entero positivo $ n $ se definen $ n_1 $ como la suma de los dígitos de $ n $, $ n_2 $ como la suma de los dígitos de $ n_1 $, y $ n_3 $ como la suma de los dígitos de $ n_2 $.

Por ejemplo para $ n = 199 $, $ n_1 = 199_1 = 19, n_2 = 199_2 = 10 $ y $ n_3 = 199_3 = 1 $.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $ (m, n) $ tales que:

$$m + n = 2007$$
$$m_3 + n_3 = 2007_3$$

 
Problema

Desigualdad homogenea

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 07:20.

Sean $ a, b, c $ números reales positivos que satisfacen $ a+b+c = 1 $.
Muestra que:

$$\sqrt{a + bc} + \sqrt{b + ca} + \sqrt{c + ab}\leq 2.$$

 
Problema

Juego de caballeros

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 06:40.

Los caballeros $ C_1,C_2,\ldots,C_n $, del Rey Arturo, se sientan en una mesa
redonda de la siguiente manera:



El rey decide realizar un juego para premiar a uno de sus caballeros. Iniciando con $ C_1 $, y avanzando en el sentido de las manecillas del reloj, los caballeros irán diciendo los números 1, 2, 3, luego 1, 2, 3, y así sucesivamente (cada caballero dice un número). Cada caballero que diga 2 ó 3 se levanta inmediatamente y el juego continúa hasta que queda un solo caballero: el ganador.

 
Problema

Problema con números surtidos

Enviado por jmd el 29 de Julio de 2010 - 08:34.

Sea $ n $ la suma de los dígitos de un entero positivo $ A $. Decimos que $ A $ es “surtido” si cada uno de los enteros $ 1,2,\ldots,n $ es suma de dígitos de $ A $

  • Demuestra que si $ 1,2,\ldots,8 $ son sumas de dígitos de un entero $ A $ entonces $ A $ es surtido.
  • Si $ 1,2,\ldots,7 $ son sumas de dígitos de un entero $ A $, ¿es $ A $ necesariamente surtido?

Nota: El número 117 no es surtido pues sólo $ 1=1, 2 = 1+1, 7 = 7, 8 = 1 + 7, 9 = 1 + 1 + 7 $ se pueden escribir como suma de dígitos de 117.
 

 
Problema

Eliminar (ternas aritméticas) reordenando

Enviado por jmd el 29 de Julio de 2010 - 08:08.

Decimos que una lista de números $ a_1,a_2,\ldots,a_m $ contiene una terna aritmética $ a_i,a_j,a_k $, si $ i<j< k $ y $ 2a_j = a_i + a_k $. Por ejemplo, 8,1,5,2,7 tiene una terna aritmética (8,5 y 2) pero 8,1,2,5,7 no. Sea $ n $ un entero positivo. Muestra que los números $ 1,2,\ldots,n $ se pueden reordenar en una lista que no contenga ternas aritméticas.

 
Problema

Matrices n-balanceadas

Enviado por jmd el 29 de Julio de 2010 - 07:33.

Dadas varias cuadrículas del mismo tamaño con números escritos en sus casillas, su suma se efectúa casilla por casilla. Por ejemplo:

Dado un entero positivo $ N $, diremos que una cuadrícula es $ N $-balanceada si tiene números enteros escritos en sus casillas y si la diferencia entre los números escritos en cualesquiera dos casillas que comparten un lado es menor o igual que $ N $.

 
Problema

Diferencia no menor que el centésimo del producto

Enviado por jmd el 24 de Julio de 2010 - 10:27.

¿Cuál es la mayor cantidad de enteros positivos que se pueden encontrar de
manera que cualesquiera dos de ellos $ a $ y $ b $ (con a $ a\neq b $) cumplan $ |a-b|\geq{\frac{ab}{100} $?