Álgebra

Sean $x_1$, $x_2$, ..., $x_{2023}$ números reales positivos, todos distintos entre sí, tales que

$a_n$ = $\sqrt{(x_1 + x_2 + ... + x_n)(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n})}$
 

es entero para todo $n$ = 1, 2, ..., 2023. Demuestra que $a_{2023} \geq 3034$.

Para cada entero $k \geq 2$, determina todas las sucesiones infinitas de enteros positivos $a_1, a_2, \dots$ para los cuales existe un polinomio $P$ de la forma $P(x) = x^k + c_{k-1}x^{k-1} + ... + c_1x + c_0$, con $c_0, c_1, \dots , c_{k-1}$ enteros no negativos, tal que 

$P(a_n) = a_{n+1}a_{n+2} \cdots a_{n+k}$

para todo $n \geq 1$

Supongamos que $a$ y $b$ son dos números reales tales que $0 < a < b <1$. Sean :

\[x = \frac{1}{\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a+b}}, \quad y = \frac{1}{b-a} - \frac{1}{b} \quad \textrm{y} \quad z =\frac{1}{\sqrt{b-a}} - \frac{1}{\sqrt{b}} \]

Muestra que $x$, $y$ y $z$ quedan siempre ordenados de menor a mayor de la misma manera, independientemente de la elección de $a$ y $b$. Encuentra dicho orden entre $x$, $y$ y $z$.

Se tiene un función $g$ tal que para todo entero $n$: \[ g(n) = \begin{cases} 1 &\quad \textrm{si } n \geq 1 \\ 0& \quad \textrm{si } n \leq 0 \end{cases} \] También se tiene la función $f$ que cumple lo siguiente para todos los enteros $n \geq 0$ y $m \geq 0$: \[f(0,m) =0 \quad \textrm{y}\] \[f(n+1, m) = \Big( 1 -g(m) + g(m) \cdot g\big(m-1 - f(n,m)\big) \Big)\Big(1+ f(n,m) \Big)\] Encuentra todas las posibles funciones $f$ que cumplen estas condiciones. Es decir, encuentra todas las asignaciones $f(m,n)$ que cumplan las propiedades de arriba para todos los enteros $n \geq 0$ y $m \geq 0$.

Un número $x$ es Tlahuica si existen números primos distintos $p_1, p_2 \dots, p_k$ tales que

$$x= \frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} + ... + \frac{1}{p_k}$$

Determina el mayor número Tlahuica que satisface las dos propiedades siguientes:

1. 0 < x < 1
2. existe un número entero $0 < m \leq 2022$ tal que $mx$ es un entero.

Se definen las sucesiones x_n y y_n mediante las siguientes reglas:

• x₀ = 2, x₁ = 5, x_n+1 = x_n + 2x_n-1
• y₀ = 3, y₁ = 4, y_n+1 = y_n + 2y_n-1

​Demuestra que no hay números que estén en ambas sucesiones.

Determina el menor entero positivo n tal que para todo entero positivo u se cumple que  n + u!  sea un número de al menos 4 divisores

a) Demuestra que si a una colección de m números le agregamos su promedio, la nueva colección de m+1 números tendrá el mismo promedio.
b) Demuestra que el promedio de una colección de m números es menor o igual a su número más grande, y mayor o igual a su número más pequeño. 

André, Belmaris, Claudia, Daniel, Elmer y Germán van a jugar a decir números en ese orden. André y Belmaris podrán elegir sus números, pero los siguientes deben decir el resultado de la multiplicación de los números que dijeron las dos personas antes que ellos, sin equivocarse. Si André dijo "2" y Germán dijo "6 075 000" (seis millones setenta y cinco mil), ¿qué numero dijo Belmaris?

Hallar todas las ternas (a,b,p) de números enteros positivos con p primo que satisfacen

a^p = b! + p