Álgebra

Problema

4.- El término 2023

Enviado por Samuel Elias el 17 de Julio de 2023 - 19:35.

Sean $x_1$, $x_2$, ..., $x_{2023}$ números reales positivos, todos distintos entre sí, tales que

$a_n$ = $\sqrt{(x_1 + x_2 + ... + x_n)(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n})}$
 

es entero para todo $n$ = 1, 2, ..., 2023. Demuestra que $a_{2023} \geq 3034$.

Problema

3.- Un polinomio, una sucesión infinita

Enviado por Samuel Elias el 17 de Julio de 2023 - 19:23.

Para cada entero $k \geq 2$, determina todas las sucesiones infinitas de enteros positivos $a_1, a_2, \dots$ para los cuales existe un polinomio $P$ de la forma $P(x) = x^k + c_{k-1}x^{k-1} + ... + c_1x + c_0$, con $c_0, c_1, \dots , c_{k-1}$ enteros no negativos, tal que 

$P(a_n) = a_{n+1}a_{n+2} \cdots a_{n+k}$

para todo $n \geq 1$

Problema

P7. El orden de $x$, $y$ y $z$ es independiente de $a$ y $b$.

Enviado por jesus el 26 de Junio de 2023 - 15:43.

Supongamos que $a$ y $b$ son dos números reales tales que $0 < a < b <1$. Sean :

\[x = \frac{1}{\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a+b}}, \quad y = \frac{1}{b-a} - \frac{1}{b} \quad \textrm{y} \quad z =\frac{1}{\sqrt{b-a}} - \frac{1}{\sqrt{b}} \]

Muestra que $x$, $y$ y $z$ quedan siempre ordenados de menor a mayor de la misma manera, independientemente de la elección de $a$ y $b$. Encuentra dicho orden entre $x$, $y$ y $z$.

Problema

P4. Encuentra todas las asignaciones f(m,n)

Enviado por jesus el 19 de Junio de 2023 - 19:27.
Se tiene un función $g$ tal que para todo entero $n$: \[ g(n) = \begin{cases} 1 &\quad \textrm{si } n \geq 1 \\ 0& \quad \textrm{si } n \leq 0 \end{cases} \] También se tiene la función $f$ que cumple lo siguiente para todos los enteros $n \geq 0$ y $m \geq 0$: \[f(0,m) =0 \quad \textrm{y}\] \[f(n+1, m) = \Big( 1 -g(m) + g(m) \cdot g\big(m-1 - f(n,m)\big) \Big)\Big(1+ f(n,m) \Big)\] Encuentra todas las posibles funciones $f$ que cumplen estas condiciones. Es decir, encuentra todas las asignaciones $f(m,n)$ que cumplan las propiedades de arriba para todos los enteros $n \geq 0$ y $m \geq 0$.
Problema

1.- Números Tlahuicas

Enviado por Samuel Elias el 12 de Noviembre de 2022 - 22:31.

Un número $x$ es Tlahuica si existen números primos distintos $p_1, p_2 \dots, p_k$ tales que

$$x= \frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} + ... + \frac{1}{p_k}$$

Determina el mayor número Tlahuica que satisface las dos propiedades siguientes:

  1. 0 < < 1
  2. existe un número entero $0 < m \leq 2022$ tal que $mx$ es un entero.

Problema

El 6 del último selectivo 2022

Enviado por Samuel Elias el 24 de Octubre de 2022 - 08:57.

Se definen las sucesiones xy ymediante las siguientes reglas:

  • x= 2, x= 5, xn+1 = xn + 2xn-1
  • y0 = 3, y1 = 4, yn+1 = yn + 2yn-1

​Demuestra que no hay números que estén en ambas sucesiones.

Problema

Sin miedo al factorial

Enviado por Samuel Elias el 24 de Octubre de 2022 - 08:53.

Determina el menor entero positivo n tal que para todo entero positivo u se cumple que  n + u!  sea un número de al menos 4 divisores

Problema

Promedio de un colección de m números

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 18:53.

a) Demuestra que si a una colección de m números le agregamos su promedio, la nueva colección de m+1 números tendrá el mismo promedio.
b) Demuestra que el promedio de una colección de m números es menor o igual a su número más grande, y mayor o igual a su número más pequeño. 

Problema

El número de Belmaris

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 17:50.

André, Belmaris, Claudia, Daniel, Elmer y Germán van a jugar a decir números en ese orden. André y Belmaris podrán elegir sus números, pero los siguientes deben decir el resultado de la multiplicación de los números que dijeron las dos personas antes que ellos, sin equivocarse. Si André dijo "2" y Germán dijo "6 075 000" (seis millones setenta y cinco mil), ¿qué numero dijo Belmaris?

Problema

Problema 5 - IMO 2022 - Redacción corta pero peligrosa

Enviado por Samuel Elias el 14 de Julio de 2022 - 20:38.

Hallar todas las ternas (a,b,p) de números enteros positivos con p primo que satisfacen

ap = b! + p

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