Problemas - Álgebra

Problema

1.- Números Tlahuicas

Enviado por Samuel Elias el 12 de Noviembre de 2022 - 21:31.

Un número $x$ es Tlahuica si existen números primos distintos $p_1, p_2 \dots, p_k$ tales que

$$x= \frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} + ... + \frac{1}{p_k}$$

Determina el mayor número Tlahuica que satisface las dos propiedades siguientes:

  1. 0 < < 1
  2. existe un número entero $0 < m \leq 2022$ tal que $mx$ es un entero.

Problema

El 6 del último selectivo 2022

Enviado por Samuel Elias el 24 de Octubre de 2022 - 07:57.

Se definen las sucesiones xy ymediante las siguientes reglas:

  • x= 2, x= 5, xn+1 = xn + 2xn-1
  • y0 = 3, y1 = 4, yn+1 = yn + 2yn-1

​Demuestra que no hay números que estén en ambas sucesiones.

Problema

Sin miedo al factorial

Enviado por Samuel Elias el 24 de Octubre de 2022 - 07:53.

Determina el menor entero positivo n tal que para todo entero positivo u se cumple que  n + u!  sea un número de al menos 4 divisores

Problema

Promedio de un colección de m números

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 17:53.

a) Demuestra que si a una colección de m números le agregamos su promedio, la nueva colección de m+1 números tendrá el mismo promedio.
b) Demuestra que el promedio de una colección de m números es menor o igual a su número más grande, y mayor o igual a su número más pequeño. 

Problema

El número de Belmaris

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 16:50.

André, Belmaris, Claudia, Daniel, Elmer y Germán van a jugar a decir números en ese orden. André y Belmaris podrán elegir sus números, pero los siguientes deben decir el resultado de la multiplicación de los números que dijeron las dos personas antes que ellos, sin equivocarse. Si André dijo "2" y Germán dijo "6 075 000" (seis millones setenta y cinco mil), ¿qué numero dijo Belmaris?

Problema

Problema 5 - IMO 2022 - Redacción corta pero peligrosa

Enviado por Samuel Elias el 14 de Julio de 2022 - 19:38.

Hallar todas las ternas (a,b,p) de números enteros positivos con p primo que satisfacen

ap = b! + p

Problema

Los favoritos de Claudia

Enviado por Samuel Elias el 10 de Julio de 2022 - 20:19.

Claudia escribe una lista de sus 11 números favoritos más pequeños. El primero es el 5 y el tercero es 13, además, se dió cuenta que todos los números excepto el primero y el último resultan ser el promedio de los dos números que tiene a lado. ¿Cuál es el último número de su lista?

Problema

Fichas de dominó

Enviado por Samuel Elias el 9 de Julio de 2022 - 12:23.

Pancho hizo una hilera con 7 fichas de dominó de manera que los lados con el mismo número de puntos quedaron uno al lado del otro. Originalmente la hilera tenía un total de 33 puntos, pero el hermanito de Pancho se llevó dos de las fichas. ¿Qué cantidad de puntos había en el lugar que señala la flecha en la figura?


Problema

Misma área y lados en progresión arimética (OMM 2021 P1)

Enviado por German Puga el 12 de Noviembre de 2021 - 02:06.
Los números positivos y distintos $a_1, a_2, a_3$ son términos en una progresión aritmética, y de la misma manera los números positivos y distintos $b_1, b_2, b_3$ son términos de una progresión aritmética. ¿Es posible usar tres segmentos de longitudes $a_1, a_2, a_3$ como bases y otros tres segmentos con longitudes $b_1, b_2, b_3$ como alturas (en algún orden), para construir rectángulos de la misma área?
Problema

Problema 1 - IMO 2019 - Determinar todas las función enteras.

Enviado por jesus el 19 de Junio de 2020 - 17:41.

Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los números enteros. Determinar todas las funciones $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ tales que, para todos los enteros $a$ y $b$, $$f(2a) + 2f(b) = f (f (a + b)).$$