Problemas - Álgebra

Problema

Para entender la pregunta primero tienes que responderla

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 14:27.

Determine los posibles valores de la suma de los digitos de todos los cuadrados perfectos.

Problema

Si le entiendes al enunciado obtienes un punto

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 13:20.

Demostrar que todo número natural $n\leq 2^{1000000}$ puede ser obtenido a partir de 1 haciendo menos de 1100000 sumas; más precisamente: que hay una sucesión finita de números naturales $x_0, x_1,\ldots,x_k$, con $k < 1100000$, $x_0 = 1, x_k = n$ tal que para cada $i = 1, 2,\ldots, k$, existen $r, s$ con $0\leq r < i, 0 \leq s < i$, y $x_i = x_r + x_s$.

Problema

Eliges, sumas, y te vas...

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 13:18.

Sean $n, r$ dos enteros positivos. Se desea construir $r$ subconjuntos $A_1, A_2,\ldots, A_r$ de $\{0, 1,\ldots, n-1\}$ cada uno de ellos con exactamente $k$ elementos y tales que, para cada entero $x$, $0\leq x \leq n-1$, existen $x_1$ en $A_1$, $x_2$ en $A_2$ ,... , $x_r$ en $A_r$ (un elemento en cada conjunto) con $x = x_1 + x_2\dots+ x_r$. Hallar el menor valor posible de $k$ en función de $n$ y $r$.

Problema

Una forma complicada de definir una función elemental

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 09:37.

 Sea $N^* = \{1, 2, 3, \ldots \}$. Halle todas las funciones $f: N^* \mapsto N^*$ tales que:

  • i) si $x < y$, entonces $f(x) < f(y)$
  • ii) $f(y f(x)) = x^2f(xy)$, para todos los $x, y\in N^*$.
Problema

Dos sucesiones recursivas

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 07:24.

Sean $(a_n)$ y $(b_n)$ dos sucesiones de números enteros que verifican las siguientes condiciones:

  • i) $a_0 = 0, b_0 = 8$
  • ii) $a_{n+2} = 2a_{n+1}-a_n+2, b_{n+2}=2b_{n+1}-b_n$
  • iii) $a_n^2+b_n^2$ es un cuadrado perfecto para todo $n$.

Determinar al menos dos valores del par $(a_{1992}, b_{1992})$.

Problema

Suma de las raíces de un polinomio

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 07:18.

Sean dados la colección de $n$ números reales positivos $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < a_n$, y la función$$f(x)=\frac{a_1}{x+a_1}+\frac{a_2}{x+a_2}+\ldots +\frac{a_n}{x+a_n}$$ Determinar la suma de las longitudes de los intervalos, disjuntos dos a dos, formados por todos los valores de $x$ tales que $f(x)\gt 1$.

Problema

Suma de una sucesión

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 07:16.

Para cada entero positivo $n$, sea $a_n$ el último dígito del número $1+2+3+ ...+n$. Calcular $a_1 + a_2 + a_3 +\ldots+a_{1992}$.

Problema

¿Puedes maliciar que es suma de dos cuadrados?

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 21:36.

Sea $P(X,Y) = 2X^2 - 6XY + 5Y^2$. Diremos que un número entero $A$ es un valor de $P$ si existen números enteros $B$ y $C$ tales que $A = P(B,C)$.

  • i) Determinar cuántos elementos de $\{1, 2, 3, ... ,100\}$ son valores de $P$.
  • ii) Probar que el producto de valores de $P$ es un valor de $P$.
Problema

Función creciente en [0,1]

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 21:33.

Sea $F$ una función creciente definida para todo número real $x$, $0\leq x \leq 1, tal que:

  • (a) $F(0) = 0$
  • (b) $F(x/3) = F(x)/2$
  • (c) $F(1-x) = 1 - F(x)$

Encontrar $F(18/1991)$

 

Problema

Propiedad de un polinomio cúbico

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 18:05.

Sea $f(x)$ un polinomio de grado 3 con coeficientes racionales. Probar que si el gráfico de $f$ es tangente al eje $x$, entonces $f(x)$ tiene sus 3 raíces racionales.