Problemas - Álgebra

Problema

Don't care too much for money...

Enviado por jmd el 1 de Febrero de 2010 - 20:36.

Le salió caro el tiro al JJ esa noche. Repartió los dólares que traía de la siguiente manera: le dio la mitad al comandante, la tercera parte al dueño del bar, la décima parte a su guardaespaldas, y los 2000 que le quedaban se los dio a la bailarina. ¿Cuántos dólares traía el JJ esa noche?

Problema

Un acertijo algebraico

Enviado por jmd el 8 de Enero de 2010 - 20:15.

La suma de tres números $a,b,c $ es 3, la suma de sus cuadrados es 11 y la suma de sus cubos es 27. Encontrar la suma de sus potencias cuartas.

Problema

Sin polinomios simétricos inútil es intentarlo

Enviado por jmd el 2 de Enero de 2010 - 13:34.

Demostrar que para $a,b,c$ reales no nulos tales que $a+b+c=0$ se cumple la identidad

$$\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\cdot \frac{a^7+b^7+c^7}{7} = \Big( \frac{a^5+b^5+c^5}{5} \Big) ^2=$$

Problema

El fácil de la IMO 1961

Enviado por jmd el 2 de Enero de 2010 - 09:05.

Resolver el sistema de ecuaciones (donde $a,b$ son constantes):

x+y+z&=a\\ x^2+y^2+z^2&=b^2\\ xy&=z^2

Dar, además, las condiciones que deben satisfacer $a,b$ para que las soluciones del sistema $x,y,z$ sean números positivos distintos.

Problema

Polinomios simétricos: instancia de uso

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2010 - 14:43.

Sean $a,b,c$ números reales distintos de cero y tales que $a+b+c=0$ y $a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$. Demostrar que $a^2+b^2+c^2=\frac{6}{5}$

Problema

Identidad de Gauss

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2010 - 13:44.

a) Demostrar la identidad algebraica $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

b) Demostrar la identidad $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$

c) Usar el resultados del inciso anterior para demostrar que si $a,b,c$ son reales positivos entonces se cumple la desigualdad  $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq 0$

Problema

Polinomios simétricos en tres variables: resultado fundamental

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2010 - 11:47.

Sea $ n $ un entero no negativo y $x,y,z$ números reales.  Con la notación usual, defínanse los polinomios simétricos elementales en tres variables como $\sigma_1=x+y+z,~\sigma_2=xy+yz+zx, ~\sigma_3=xyz$  y $S_n=x^n+y^n+z^n$.

Demostrar:

a) $S_n=\sigma_1\cdot S_{n-1}-\sigma_2\cdot S_{n-2}+\sigma_3\cdot S_{n-3}$, para $n\geq3$

Problema

Polinomios simétricos en dos variables: resultado fundamental

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2010 - 11:26.

Sea $ n $ un entero no negativo y $a,b$ números reales.

a)Demostrar la identidad $$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})-ab(a^{n-2}+b^{n-2})$$

Problema

Ejercicios sobre inducción matemática

Enviado por jmd el 28 de Diciembre de 2009 - 22:37.

El n-ésimo número triangular $T_{n}$ se define como la suma de los primeros $ n $ enteros.

Problema

¿Tantos? ¡Qué desorden!

Enviado por jmd el 28 de Diciembre de 2009 - 10:39.