Problemas - Álgebra

Problema

¿Quién tiene más?

Enviado por jmd el 28 de Diciembre de 2009 - 10:20.

Dos vecinos juegan al "quién tiene más" (en varilla para la construcción):

A: Yo tengo 40 y tú 30.

B: Sí, pero las mías miden 4 metros más que las tuyas.

Problema

Dos números

Enviado por jmd el 8 de Diciembre de 2009 - 13:56.

Encontrar dos números tales que su suma, su producto y la diferencia de sus cuadrados son iguales entre sí.

Problema

Impares consecutivos

Enviado por jmd el 4 de Diciembre de 2009 - 12:31.

Dos impares consecutivos son tales que el doble del menor más el recíproco del mayor es 71/7. Encontrar esos números.

Problema

Comité deshonesto

Enviado por jmd el 1 de Diciembre de 2009 - 11:43.

El dinero (no declarado) de la colecta se va a repartir en partes iguales entre los miembros del comité (pro-viaje de estudios). Si fueran 3 miembros más les tocaría 25 pesos menos, y si fueran 2 menos les tocaría 25 pesos más. ¿Cuántos miembros son y cuánto se repartieron?

Problema

XXIIIOMM Problema 4

Enviado por jmd el 11 de Noviembre de 2009 - 12:03.

Sea $n>1$ un entero impar y sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales distintos. Sea $ M $ el mayor de estos números y sea $m$ el menor de ellos. Muestra que es posible escoger los signos de la expresión $s=\pm {a_1} \pm {a_2}\pm \ldots \pm {a_n}$ de manera que $m<s<M$.

Problema

XXIIIOMM Problema 3

Enviado por jmd el 10 de Noviembre de 2009 - 14:52.

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=1$. Muestra que
$ \frac {a^3}{a^3+2} + \frac {b^3}{b^3+2} + \frac {c^3}{c^3+2}\geq 1$ y que $ \frac {1}{a^3+2} + \frac {1}{b^3+2} + \frac {1}{c^3+2} \leq 1$

Problema

Un libro de regalo

Enviado por jmd el 4 de Noviembre de 2009 - 20:23.

Fui a la librería y me gustó un libro (Cómo ser feliz en 7 lecciones). Compré varios ejemplares para regalar en Navidad a mis amistades. Por eso la señorita me hizo un descuento de 10 pesos por cada copia. Pagué 1200 pesos. Sin ese descuento, con los 1200 hubiera comprado 4 libros menos.

Problema

Un problema de edades

Enviado por jmd el 24 de Octubre de 2009 - 22:50.

Hace 10 años Jesús tenía la misma edad que Lourdes tiene ahora. Dentro de 7 años Madonna tendrá dos veces la edad de Jesús, aunque actualmente tiene 3 años más que cuatro veces la edad de Lourdes.

Problema

XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 5)

Enviado por jmd el 23 de Septiembre de 2009 - 14:01.

La sucesión $a_n$ está definida por

$a_1=1, a_{2k}=1+a_k$ y $a_{2k+1}=\frac{1}{a_{2k}}$, para todo entero $k\geq 1$.

Demostrar que todo número racional positivo aparece exactamente una vez en esa sucesión.
 

Problema

Progresión aritmética con un cuadrado

Enviado por jmd el 21 de Agosto de 2009 - 20:06.

Demostrar que si una progresión aritmética de enteros positivos contiene un cuadrado perfecto entonces contiene infinitamente muchos cuadrados perfectos.