Problemas - Álgebra
Un acertijo algebraico
La suma de tres números $a,b,c $ es 3, la suma de sus cuadrados es 11 y la suma de sus cubos es 27. Encontrar la suma de sus potencias cuartas.
Sin polinomios simétricos inútil es intentarlo
Demostrar que para $a,b,c$ reales no nulos tales que $a+b+c=0$ se cumple la identidad
$$\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\cdot \frac{a^7+b^7+c^7}{7} = \Big( \frac{a^5+b^5+c^5}{5} \Big) ^2=$$
El fácil de la IMO 1961
Resolver el sistema de ecuaciones (donde $a,b$ son constantes):
Dar, además, las condiciones que deben satisfacer $a,b$ para que las soluciones del sistema $x,y,z$ sean números positivos distintos.
Polinomios simétricos: instancia de uso
Sean $a,b,c$ números reales distintos de cero y tales que $a+b+c=0$ y $a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$. Demostrar que $a^2+b^2+c^2=\frac{6}{5}$
Identidad de Gauss
a) Demostrar la identidad algebraica $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
b) Demostrar la identidad $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$
c) Usar el resultados del inciso anterior para demostrar que si $a,b,c$ son reales positivos entonces se cumple la desigualdad $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq 0$
Polinomios simétricos en tres variables: resultado fundamental
Sea $ n $ un entero no negativo y $x,y,z$ números reales. Con la notación usual, defínanse los polinomios simétricos elementales en tres variables como $\sigma_1=x+y+z,~\sigma_2=xy+yz+zx, ~\sigma_3=xyz$ y $S_n=x^n+y^n+z^n$.
Demostrar:
a) $S_n=\sigma_1\cdot S_{n-1}-\sigma_2\cdot S_{n-2}+\sigma_3\cdot S_{n-3}$, para $n\geq3$
Polinomios simétricos en dos variables: resultado fundamental
Sea $ n $ un entero no negativo y $a,b$ números reales.
a)Demostrar la identidad $$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})-ab(a^{n-2}+b^{n-2})$$
Ejercicios sobre inducción matemática
El n-ésimo número triangular $T_{n}$ se define como la suma de los primeros $ n $ enteros.
¿Quién tiene más?
Dos vecinos juegan al "quién tiene más" (en varilla para la construcción):
A: Yo tengo 40 y tú 30.
B: Sí, pero las mías miden 4 metros más que las tuyas.
