Problemas - Álgebra

Problema

XXIIIOMM Problema 3

Enviado por jmd el 10 de Noviembre de 2009 - 13:52.

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=1$. Muestra que
$ \frac {a^3}{a^3+2} + \frac {b^3}{b^3+2} + \frac {c^3}{c^3+2}\geq 1$ y que $ \frac {1}{a^3+2} + \frac {1}{b^3+2} + \frac {1}{c^3+2} \leq 1$

Problema

Un libro de regalo

Enviado por jmd el 4 de Noviembre de 2009 - 19:23.

Fui a la librería y me gustó un libro (Cómo ser feliz en 7 lecciones). Compré varios ejemplares para regalar en Navidad a mis amistades. Por eso la señorita me hizo un descuento de 10 pesos por cada copia. Pagué 1200 pesos. Sin ese descuento, con los 1200 hubiera comprado 4 libros menos.

Problema

Un problema de edades

Enviado por jmd el 24 de Octubre de 2009 - 21:50.

Hace 10 años Jesús tenía la misma edad que Lourdes tiene ahora. Dentro de 7 años Madonna tendrá dos veces la edad de Jesús, aunque actualmente tiene 3 años más que cuatro veces la edad de Lourdes.

Problema

XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 5)

Enviado por jmd el 23 de Septiembre de 2009 - 13:01.

La sucesión $a_n$ está definida por

$a_1=1, a_{2k}=1+a_k$ y $a_{2k+1}=\frac{1}{a_{2k}}$, para todo entero $k\geq 1$.

Demostrar que todo número racional positivo aparece exactamente una vez en esa sucesión.
 

Problema

Progresión aritmética con un cuadrado

Enviado por jmd el 21 de Agosto de 2009 - 19:06.

Demostrar que si una progresión aritmética de enteros positivos contiene un cuadrado perfecto entonces contiene infinitamente muchos cuadrados perfectos.

Problema

Partir la baraja

Enviado por jmd el 15 de Agosto de 2009 - 05:51.

Sea $ n $ un entero positivo. Una baraja de $2n$ cartas contiene exactamente dos cartas marcadas con cada uno de los enteros $1,2,\ldots,n.$  Las cartas se ordenan en la forma $1,1,2,2,3,3,...,n,n.$  La baraja ya ordenada de esta manera se parte, y resulta que, en las dos partes, los dígitos en las cartas suman la misma cantidad.

Problema

IMO 2009, Problema 5

Enviado por jesus el 1 de Agosto de 2009 - 22:58.

Determinar todas las funciones f del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los enteros positivos tales que, para todos los enteros positivos a y b, existe un triángulo no degenerado cuyos lados miden

$$a, f(b)  \textrm{ y } f(b + f(a) - 1)$$

(Un triángulo es no degenerado si sus vértices no están alineados).

Problema

IMO 2009, Problema 3

Enviado por jesus el 24 de Julio de 2009 - 13:51.

Sea $s_1, s_2, s_3, \ldots $ una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tal que las
subsucesiones
$$s_{s_1} , s_{s_2} , s_{s_3} ,\ldots \textrm{ y } s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1}, \ldots $$
son ambas progresiones aritméticas. Demostrar que la sucesión $s_1, s_2, s_3, . . .$ es también una progresión

Problema

IMO 2009 Problema 1

Enviado por Luis Brandon el 21 de Julio de 2009 - 10:42.

Sea $ n $ un entero positivo y sean $a_1,a_2,...,a_k (k\geq 2)$ enteros distintos del conjunto $ {1,...,n} $, tales que $ n $ divide a $a_i(a_{i+1}-1)$, para $i=1,..., k-1$. Demostrar que $ n $ no divide a $a_k(a_1-1)$.

Problema

Encontrar el término n de una sucesión

Enviado por jmd el 19 de Julio de 2009 - 13:48.

Considere la sucesión $a_1=1$ y, para $ n $ mayor que 1, $a_n=1+2a_{n-1}.$ Encontrar una fórmula para el término n-ésimo y demostrarla por inducción.