Problemas - Álgebra

Problema

Área de un hexágono bonito

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 15:34.

Un hexágono convexo se denomina bonito si tiene cuatro diagonales de longitud 1, cuyos extremos incluyen todos los vértices del hexágono.

  • (a) Dado cualquier número $k$, mayor que 0 y menor o igual que 1, encontrar un hexágono bonito de área $k$.
  • (b) Demostrar que el área de cualquier hexágono bonito es menor que 3/2.
Problema

Geométrica por eliminación

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 15:29.

De una progresión aritmética infinita $1, a_1, a_2\ldots,$ de números reales se eliminan términos, obteniéndose una progresión geométrica infinita: $1, a_{n_1}, a_{n_2},\ldots$ de razón $q$. Encontrar los posibles valores de $q$.

Problema

Problema diofantino

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 15:28.

Encontrar todas las soluciones de la ecuación
$$(x + 1)^y - x^z = 1$$
Para $x, y, z$ enteros mayores que 1.

Problema

Sucesión periódica en la mediatriz de un segmento

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 15:13.

 Sean $A$ y $B$ puntos del plano y $C$ un punto de la mediatriz de $AB$. Se construye una sucesión $C_1, C_2, \ldots, C_n, \ldots$ de la siguiente manera: $C_1 = C$ y, para $n\geq 1$, si $C_n$ no pertenece al segmento $AB$, entonces $C_{n+1}$ es el circuncentro del triángulo $ABC_n$.
Determine todos los puntos $C$ tales que la sucesión $C_1, C_2, \ldots, C_n,\ldots$ está definida para todo $n$ y es periódica a partir de un cierto punto.

Nota: Una sucesión $C_1, C_2,\ldots, C_n,\ldots$ es periódica a partir de un cierto punto si existen enteros positivos $k$ y $p$ tales que $C_{n+p} = C_n$ para todo $n\geq k$.

Problema

Resto del término 1998 en la división entre 1998

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 14:37.

Sea $\lambda$ la raíz positiva de la ecuación $t^2 - 1998t - 1 = 0$. Se define la sucesión $x_0 , x_1 ,x_2 ,\ldots, x_n ,\ldots$ por:
$$x_0 = 1, x_{n + 1} = [\lambda x_n],$$ para $n = 0, 1, 2,\ldots$
Hallar el residuo (resto) de la división de $x_{ 1998}$ entre 1998.
NOTA: $[x]$ es el único entero $k$ tal que $k\leq x \leq k + 1$.

Problema

Estadísticas trucadas

Enviado por jmd el 20 de Diciembre de 2011 - 20:33.

Una oficina de Turismo va a realizar una encuesta sobre el número de días soleados y el número de días lluviosos que se dan en el año. Para ello recurre a seis regiones que le transmiten los datos de la siguiente tabla:

Problema

Cuadrados perfectos en una progresión aritmética

Enviado por jmd el 20 de Diciembre de 2011 - 20:16.

Demostrar que si entre los infinitos términos de una progresión aritmética de números enteros positivos hay un cuadrado perfecto, entonces infinitos términos de la progresión son cuadrados perfectos.

Problema

Triángulo aritmético

Enviado por jmd el 19 de Diciembre de 2011 - 20:30.

Sea dado el triángulo aritmético

0 1 2 3 4 ............. 1991 1992 1993
 1 3 5 7...................... 3983 3985
  4 8 12............................. 7968
...
(donde cada número es la suma de los dos que tiene encima, cada fila tiene un número menos y en la última sólo hay un número). Demostrar que el último número es múltiplo de 1993.

Problema

Grado de repulsión de una función circular

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 14:44.

Una función $f: N \mapsto N$ es circular si para cada $p$ en $N$ existe $n$ en $N$ con $n\leq p$ tal que:
$$\underbrace{f^n(p) = f(f(\ldots f(p) \ldots )))}_{n veces}=p$$
La función $f$ tiene grado de repulsión $k$, $0 < k < 1$, si para cada $p$ en $N$, $f^i(p) \neq p$ para $i\leq [k\cdot p]$. Determine el mayor grado de repulsión que puede tener una función circular. Nota: $[x]$ indica el mayor entero menor o igual que $x$.

 

Problema

Condiciones extravagantes para n+1 números

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 14:32.

Sea $n$ un número entero mayor que 1. Determine los números reales $x_1, x_2,\ldots, x_n\leq 1$ y $x_{n+1}>0$, que verifiquen las dos condiciones siguientes:
$$\sqrt{x_1}+\sqrt[3]{x_2}+\ldots+\sqrt[n-1]{x_n}=n\sqrt[2]{x_{n+1}}$$
$$\frac{x_1+x_2+ \ldots +x_n}{n}=x_{n+1}$$