XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 5)

Enviado por jmd el 23 de Septiembre de 2009 - 14:01.
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La sucesión $ a_n $ está definida por

$ a_1=1, a_{2k}=1+a_k $ y $ a_{2k+1}=\frac{1}{a_{2k}} $, para todo entero $ k\geq 1 $.

Demostrar que todo número racional positivo aparece exactamente una vez en esa sucesión.
 

Ver también: 
XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 1) (Problema)
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XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 2) (Problema)
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XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 3) (Problema)
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XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 4) (Problema)
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XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 6) (Problema)
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Comentarios

Imagen de darwinsigma

#1 Usando los tres hechos

Enviado por darwinsigma el 24 de Septiembre de 2009 - 01:31.
Usando los tres hechos siguientes el problema sale trivial: -Los naturales aparecen en la sucesión, de hecho aparecen cuando el subindice de la sucesion es una potencia de 2. (el natural m aparece cuando el subindice es 2^(m-1)). -Por lo anterior, los recíprocos de los naturales aparecen en la sucesión es decir, 1/k para todo k perteneciente a los naturales aparece en la sucesión. -El algoritmo de Euclides. No se cmo escribir una demostración acá asi que solo eso diré. Gracias por los problemas.. los andaba buscando para ver que tal estuvo la olimpiada. Saludos.