Fórmulas de Vieta

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 01:00.

Encontrar todas las soluciones del siguiente sistema de tres ecuaciones en tres incógnitas.

$\begin{align*} x+y+z=2 \end{align*}$

$\begin{align*} x^2+y^2+z^2=14 \end{align*}$

$\begin{align*} xyz=-6 \end{align*}$

Sugerencia

Por:

jmd

Sugerencia:

Interpreta las variables como las raíces de un polinomio cúbico.

Solución

Por:

jmd

Fecha:

11 Feb 2009

Solución:

En un polinomio de la forma $f(t)=t^2-(x+y)t+xy$ se sabe que al sustituir la $t$ por $x$ el polinomio se anula (lo mismo pasa con $y$ ). Esta propiedad se conoce como fórmula de Vieta para la ecuación cuadrática. Para un polinomio de grado 3, con raíces $x,y,z$ se tiene $f(t)= t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz$ . En el problema que nos ocupa, las ecuaciones simultaneas sugieren que $x,y,z$ se pueden interpretar como las raíces de un polinomio de grado 3.

Pero nos falta el coeficiente de $t^2$ . Sin embargo, es fácil de calcular a través del trinomio al cuadrado. Según las dos primeras ecuaciones del sistema, $4=(x+y+z)^2=14+2(xy+yz+zx)$ . De aquí que $xy+yz+zx=-5$ .

De esta manera, el problema se transforma a uno encontrar las raíces del polinomio $f(t)=t^3-2t^2-5t+6$ . Y se puede ver --después de algunos tanteos-- que una de las raíces es $t=1$ . Es decir, $f(t)=(t-1)(t^2-t-6)$ . Las otras dos raíces se obtienen observando --de nuevo por Vieta-- que $-6=3(-2)$ y $-1=3-2$ . Con lo que se puede comprobar que $f(t)=(t-1)(t+2)(t-3)$ . Es decir, las raíces del polinomio son $1,-2,3$ .

Como las ecuaciones del sistema que se nos pide resolver son simétricas (es decir, permutando las variables las ecuaciones permanecen sin cambio), todas sus soluciones $(x,y,z)$ se obtienen permutando de todas las formas posibles las raíces obtenidas. Son 6: $(1,-2,3), (1,3,-2), (-2,1,3), (-2,3,1), (3,1,-2), (3,-2,1)$ .

Ver también:

Las fórmulas de Vieta: un tema inadaptado... a la ecología escolar (Entrada de blog)

Comentarios

#1 ¿Quién puso este problema? La

Enviado por jmd el 11 de Febrero de 2009 - 17:18.

¿Quién puso este problema?

La solución estaba inconclusa... Pero bueno, aprovecho para comentar que se acostumbraba poner problemas de este tipo en concursos. Claramente tiene ventaja el concursante que conoce el método (lo cual no está mal, pues de otra manera ¡para qué servirían los entrenamientos!).

Y quien no conoce el método está destinado a la frustración, a pesar de que es un problema elemental al reducirlo a encontrar las raíces de un polinomio cúbico.

Acotemos también que quien inventa el problema lo inventa de tal manera que el polinomio tenga raíces fáciles de obtener (con probabilidad 1 enteras). De otra manera, encontrar las raíces del polinomio puede resultar un problema muy difícil. (Por ejemplo, si la última ecuación fuese xyz=6, el encontrar la primera raíz se complica exageradamente, y posiblemente las otras dos no sean reales.)

Los saluda

jmd

José Muñoz Delgado

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#1 ¿Quién puso este problema? La

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