Identidad de Gauss

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2010 - 13:44.
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a) Demostrar la identidad algebraica $ a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) $

b) Demostrar la identidad $ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] $

c) Usar el resultados del inciso anterior para demostrar que si $ a,b,c $ son reales positivos entonces se cumple la desigualdad  $ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq 0 $

d) Demostrar la desigualdad de las medias geométrica y aritmética para tres variables: Para $ a,b,c $ reales positivos se cumple la desigualdad $ abc \leq (\frac{a+b+c}{3})^3 $, y la igualdad se cumple si y sólo si $ a=b=c $

Ver también: 
Polinomios simétricos en tres variables: resultado fundamental (Problema)
Ver también: 
Polinomios simétricos elementales (Definición)
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