Sean $a,b,c$ números reales distintos de cero y tales que $a+b+c=0$ y $a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$. Demostrar que $a^2+b^2+c^2=\frac{6}{5}$
En términos de la notación de polinomios simétricos, se pide demostrar que $S_2=6/5$, dado que $\sigma_1=0$ y $S_3=S_5$ (y que $a,b,c$ son números reales distintos de cero).
De acuerdo al resultado fundamental para polinomios simétricos de tres variables, se tiene:
$S_2=\sigma_1^2-2\sigma_2=-2\sigma_2$ --dado que $\sigma_1=0$.
$\sigma_3=\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3=3\sigma_3$ --de nuevo usando $\sigma_1=0$.
$S_5=\sigma_1S_4-\sigma_2S_3+\sigma_3S_2=-5\sigma_2\sigma_3$
Por tanto, usando el dato de que $S_3=S_5$, se tiene que $\sigma_2=-3/5$. Así que $S_2=-2(-3/5)=6/5.$ Como se quería.
