Sin polinomios simétricos inútil es intentarlo

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Demostrar que para $a,b,c$ reales no nulos tales que $a+b+c=0$ se cumple la identidad

$$\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\cdot \frac{a^7+b^7+c^7}{7} = \Big( \frac{a^5+b^5+c^5}{5} \Big) ^2=$$




Imagen de jmd

El lector puede comprobar

El lector puede comprobar fácilmente --una vez calculados los $S_n$-- que se cumplen también:

$$\frac{S_2}{2}\frac{S_5}{5}=\frac{S_7}{7}$$

$$\frac{S_2}{2}\frac{S_3}{3}=\frac{S_5}{5}$$

Es decir:

$$\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\frac{a^5+b^5+c^5}{5}=\frac{a^7+b^7+c^7}{7}$$

$$\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\frac{a^3+b^3+c^3}{3}=\frac{a^5+b^5+c^5}{5}$$

Los saluda