Problema 1, IMO 2010

Enviado por jesus el 18 de Julio de 2010 - 14:13.

Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que

$f(\lfloor x \rfloor y)= f(x) \lfloor f(y) \rfloor$

para todos los números $x, y \in \mathbb{R}$ . ( $\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $z$ .)

Solución

Por:

jesus

Solución:

Estudiemos lo que pasa para $x=0$ , entonces,

$f(0) = f(\lfloor 0 \rfloor y)= f(0) \lfloor f(y) \rfloor$

Caso f(0) distinto de 0

Si $f(0)$ no es cero, entonces se tendrá que $\lfloor f(y) \rfloor =1$ para toda $y \in \mathbb{R}$ .

Ahora bien,

$f(0) = f(\lfloor x \rfloor 0)= f(x) \lfloor f(0) \rfloor = f(x)$

Por lo tanto, $f(x) = \textrn{constante} \in [1,2)$ . funciona. No es dificil checarlo.

Caso f(0) = 0

Entonces, para este caso estudiemos qué pasa para $x,y= 1$ . Entonces, observamos que:

$f(1) = f(\lfloor 1 \rfloor 1)= f(1) \lfloor f(1) \rfloor$

Entonces, se tienen dos casos: que $f(1) = 0$ o bien, $\lfloor f(1) \rfloor = 1$

Sub-caso f(1)=0:

En este caso se tendrá que $f(y) = f(\lfloor 1 \rfloor y) = f(1) \lfloor f(y) \rfloor = 0$ para toda $y \in \mathbb{R}$ .

Subcaso ⌊f(1)⌋ = 1.

En este caso se tendrá que

Es decir, para toda $x \in \mathbb{R}$ . En particular se tiene que $f(1/2) = f(\lfloor 1/2 \rfloor) = f(0) = 0$

Ahora bien,

$f(1) = f(\lfloor 2 \rfloor \cdot \frac{1}{2}) = f(2) \cdot \lfloor f(\frac{1}{2}) \rfloor =f(2) \dot 0 = 0$

Lo que contradice el hecho de que $\lfloor f(1) \rfloor = 1$ .

Entonces, hemos demostrado que las únicas funciones son $f(x) = c$ , donde $c$ es una constante en el intervalo $[1,2)$ o bien, $c=0$ .

Comentarios

#1 Yo queria poner mi solucion

Enviado por iwakura_isa el 19 de Julio de 2010 - 11:21.

Yo queria poner mi solucion pero es identica a la que ya pusieron

Isaí

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#2 Bueno, te ahorramos el

Enviado por jesus el 19 de Julio de 2010 - 13:43.

Bueno, te ahorramos el explicar de nuevo. ;)

La verdad, no creo que exista alguna forma muy distinta de resolver este problema, por eso seguramente te quedó idéntica.

Saludos

Jesús Rodríguez Viorato

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