Problema 8

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En una sucesión de 6 números, cada término después del segundo es la suma de los dos anteriores. Sabiendo que los 6 suman 13 y que el último término es cuatro veces el primero, calcula el primer término 




Imagen de Jonathan Galvan Bdz_2

Denotemos como  $x$ y $y$ a

Denotemos como  $x$ y $y$ a los primeros dos términos de la sucesión.

La sucesión quedará como sigue:

$x$ , $y$ , $x+y$ , $x+2y$ , $2x+3y$, $3x+5y$ 

Y con los datos del problema obtenemos las siguientes igualdades:

$4x=3x+5y$ 

$x+y+(x+y)+(x+2y)+(2x+3y)+(3x+5y)= 8x+12y= 13$

Utilizando un despeje en la primera igualdad llegamos a que $x=5y$ y con ellos procedemos a convertir la ecuación de dos incógnitas de la segunda igualdad a una ecuación de solo una incógnita 

$8x+12y=8(5y)+12y=40y+12y=52y=13$ de donde $y=\frac{1}{4}$

Ahora que conocemos el valor de $y$ obtengamos el valor de $x$

$8x+12y=8x+12(\frac{1}{4})=8x+3=13$

De lo anterior sabemos que $8x=10$ y por lo tanto $x=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$

Sabiendo el valor de las incógnitas sustituimos los valores y tendremos los valores reales en la sucesión:

$\frac{5}{4}+\frac{1}{4}+\frac{6}{4}+\frac{7}{4}+\frac{13}{4}+\frac{20}{4}$ cuya suma es $\frac{52}{4}=13$ con lo que se cumple la primera condición. 

Verifiquemos que se cumpla la segunda:

$4 \times \frac{5}{4}= \frac{20}{4}$ Sí, se cumple la segunda condición.

Habiendo comprobado que se cumplen todas las condiciones podemos afirmar que la respuesta al problema, es decir, el primer término de la sucesión es $\frac{5}{4}$.

 

Imagen de Roberto Alain Rivera Bravo

Muy padre solución, lo

Muy padre solución, lo curioso de este problema es que por talacha también salía sin dificultad, solo teniendo cuidado de no confundirte en las sumas