Considere la sucesión $ a_0, a_1, a_2,\dots $ de enteros construida como sigue:
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$ a_0>5 $ es impar,
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$ a_n $ es par,
-
y $ a_n $es impar.
Demostrar que la sucesión es no acotada.
Experimentando con $a_0 =7$ es 7, 44, 22, 11, 116, 58, 29, 836, 418, 209, etc)
Y también es posible sospechar de ese experimento que la sucesión que es realmente creciente es $a_{3n}$ (digo, si va a ser no acotada debe tener una subsucesión creciente, y saber este hecho matemático es lo que permite buscar la subsucesión creciente).
Demostremos primero la primera conjetura. Es decir, si $a_{3k+1}$ es divisible entre 4 pero no entre 8.
Probemos por inducción que $a_{3k+3}$ también lo es.
Claramente $a_{3k+1}$es divisible entre 4 pero no entre 8” da la respuesta. Porque sugiere utilizar residuos módulo 8.
$a_{3k+1} = a_{3k}^2-5 \equiv 1-5 \equiv -4 (\textrm{mod 8})$
( dado que el cuadrado de un impar es congruente con 1 módulo 8, y por hipótesis de inducción $a_{3k}$ es impar).
Y esto significa precisamente que $a_{3k+3}$ es impar.
Observemos que:
$$ a_{3k+3}=\frac{a_{3k+2}}{2}=\frac{a_{3k+1}}{4}=\frac{a_{3k}^2-5}{4} $$.
Queremos demostrar que $a_{3k+3}=(a_{3k}^2-5)/4 $. Por lo que deseamos demostrar que:
$\frac{a_{3k}^2-5}{4} > a_{3k} $
Pero esto es cierto si y sólo si
$a_{3k}^2- 4 a_{3k}-5 >0 $
Que es lo mismo que
$(a_{3k}+1) (a_{3k}-5) >0 $
Pero esta desigualdad es cierta siempre y cuando $a_{3k+3}>a_{3k}$.
Ahora bien, probemos que $a_{3k+3}>5$. Y esto termina la prueba.
