XXIIIOMM Problema 3

Enviado por jmd el 10 de Noviembre de 2009 - 14:52.
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Sean $ a,b,c $ números reales positivos tales que $ abc=1 $. Muestra que
$ \frac {a^3}{a^3+2} + \frac {b^3}{b^3+2} + \frac {c^3}{c^3+2}\geq 1 $ y que $ \frac {1}{a^3+2} + \frac {1}{b^3+2} + \frac {1}{c^3+2} \leq 1 $

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Comentarios

Imagen de Fernando Mtz. G.

#1 Para la primera parte se

Enviado por Fernando Mtz. G. el 11 de Noviembre de 2009 - 23:14.

Para la primera parte se puede usar el principio del minimo de arthur engel.
Para la segunda parte se puede multiplicar por $ (a^3+2)(b^3+2)(c^3+2) $ en ambos lados de la desigualdad y partir de allí.

Imagen de Rojo

#2  Un buen problema, yo resolví

Enviado por Rojo el 5 de Mayo de 2010 - 13:11.

 Un buen problema, yo resolví la primera parte...

a^3                b^3                        c^3                                     

-----------       ------------                -------------   =      

a^3+2            b^3+2                   c^3+2                         

 

a^3(1/a)                 b^3  (1/b)             c^3(1/c)

---------------- +    ------------------ +   ------------------ =

a^3+2(1/a)            b^3+2(1/b)          c^3(1/c)

 

a^2                          b^2                             c^2

------------------  +  ------------------------- + ------------------------   >=

a^3+2                     b^3+2                         c^3+2

----------                ------------                      -----------

a                              b                                c

 

(a+b+c)^2

-------------------------------------------------=

bc(a^3+2) + ac(b^3+2) + ab(c^3)

 

(a+b+c)^2                                            (a+b+c)^2

------------------------------------  =          ---------------------=    1

a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab           (a+b+c)^2

LQQD

 

perdon pero soy principiante asi que no se como escribirlo bien...

 

en el cuarto paso utilice "una desigualdad util"

Creo que la segunda parte es equivalente a la primera pero no recuerdo como llegar de una a la otra

 

 

Imagen de Rojo

#3  Perdon por el error en el

Enviado por Rojo el 5 de Mayo de 2010 - 13:14.

 Perdon por el error en el paso 2

 

a^3(1/a)                 b^3  (1/b)             c^3(1/c)

--------------- +    ------------------ +   ------------------ =

(a^3+2)(1/a)     (b^3+2)(1/b)         (c^3+2)(1/c)

 

Corregido