Álgebra

 Pruebe que si $m, n, r$ son enteros positivos, no nulos, y $$1+m+n\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^{2r-1}$$, entonces $m$ es un cuadrado perfecto.

 Encontrar las funciones $f(x)$ tales que cumplen la ecuación $$[f(x)]^2[f(1-x)/(1+x)]=64x$$ para $x\neq0,x\neq1,x\neq-1$

 Demostrar que si $x\neq1, y\neq1, x\neq{y}$ y $$ \frac{yz-x^2}{1-x}=\frac{zx-y^2}{1-y}$$
entonces ambas fracciones son iguales a $x + y + z$.

 Halle las raíces $r_1, r_2, r_3, r_4$ de la ecuación:
$$4x^4 – ax^3 + bx^2 – cx + 5 = 0$$
Sabiendo que son reales positivos, y que
$$\frac{r_1}{2}+\frac{r_2}{4}+\frac{r_3}{5}+\frac{r_4}{8}=1$$

 Encontrar todas las ternas de enteros $(a, b, c)$ tales que:
$$a + b + c=24$$
$$a^2 + b^2 + c^2=210$$
$$abc=440$$

Sea un entero positivo.  Se considera

Sea $f$ una función del conjunto de los números reales en sí mismo que satisface $$f(x + y)\leq yf(x) + f(f(x))$$ para todo par de números reales $x, y$. Demostrar que $f(x) = 0$ para todo $x\leq0$.

Los números reales positivos $x$, $y$, $z$ son tales que:

$$x+ \frac{y}{z} = y + \frac{z}{x} = z + \frac{x}{y} = 2$$

Determina todos los valores posibles de $x+y+z$.

En el país XYZ se aprobó una ley de "jubilación" de ninis (jóvenes que ni estudian ni trabajan). Básicamente, la regla para la "jubilación" es que el joven nini recibirá una pensión estatal de tres salarios mínimos de por vida si sigue siendo joven (menos de 30) y su edad más los años que se ha mantenido nini (sin estudiar ni trabajar) es al menos 41 años. Calcular la edad en que un adolescente de 19 años logrará la pensión si tiene 4 años de nini.

El área de un triángulo rectángulo es 150 unidades, y la altura perpendicular a la hipotenusa mide 12. Calcular la longitud de sus lados.