Álgebra

Problema

Suma de una sucesión

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 08:16.

Para cada entero positivo $n$, sea $a_n$ el último dígito del número $1+2+3+ ...+n$. Calcular $a_1 + a_2 + a_3 +\ldots+a_{1992}$.

Problema

¿Puedes maliciar que es suma de dos cuadrados?

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 22:36.

Sea $P(X,Y) = 2X^2 - 6XY + 5Y^2$. Diremos que un número entero $A$ es un valor de $P$ si existen números enteros $B$ y $C$ tales que $A = P(B,C)$.

  • i) Determinar cuántos elementos de $\{1, 2, 3, ... ,100\}$ son valores de $P$.
  • ii) Probar que el producto de valores de $P$ es un valor de $P$.
Problema

Función creciente en [0,1]

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 22:33.

Sea $F$ una función creciente definida para todo número real $x$, $0\leq x \leq 1, tal que:

  • (a) $F(0) = 0$
  • (b) $F(x/3) = F(x)/2$
  • (c) $F(1-x) = 1 - F(x)$

Encontrar $F(18/1991)$

 

Problema

Propiedad de un polinomio cúbico

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 19:05.

Sea $f(x)$ un polinomio de grado 3 con coeficientes racionales. Probar que si el gráfico de $f$ es tangente al eje $x$, entonces $f(x)$ tiene sus 3 raíces racionales.

Problema

Divisibilidad de un polinomio

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 18:59.

Sea $f(x) = (x + b)^2 - c$, un polinomio con $b$ y $c$ números enteros.

  • a) Si $p$ es un número primo tal que $p$ divide a $c$ y $p^2$ no divide a $c$, demostrar que, cualquiera que sea el número entero $n$, $p^2$ no divide a $f(n)$.
  • b) Sea $q$ un número primo, distinto de 2, que divide a $c$. Si $q$ divide a $f(n)$ para algún número entero $n$, demostrar que para cada entero positivo $r$ existe un número entero $n'$ tal que $q^r$ divide a $f(n')$.
Problema

Una función recursiva

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 18:55.

Sea $f$ una función, definida en el conjunto de los enteros mayores o iguales que cero, que verifica las dos condiciones siguientes:

  • (I) Si $n = 2^j -1$, para $n = 0, 1, 2,\ldots$, entonces $f(n)=0$
  • (II) Si $n\neq 2^j-1, para n = 0, 1, 2,\ldots, entonces $f(n+1) = f(n) -1$.

a) Demostrar que para todo entero $n$, mayor o igual que cero, existe un entero $k$, mayor que cero, tal que $f(n)+n= 2^k - 1$
b) Calcular $f (2^{1990})$

Problema

Soluciones infinitas

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 12:09.

 Mostrar que hay una infinidad de pares de números naturales que satisfacen la ecuación
2x^2 - 3x = 3y^2: $$2x^2 -3x + 1 =3y^2 + y$$

Problema

Rango de una función

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 12:03.

Sea la función $f$ definida sobre el conjunto $\{1, 2, 3,\ldots\}$ tal que
$$f(1) = 1$$
$$f(2n + 1) = f(2n) +1$$
$$f(2n) = 3f(n)$$
Determinar el conjunto de valores que toma $f$

Problema

Desigualdad sobre los lados de un triángulo

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 11:54.

Sean $a, b, c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Probar que:
$$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b´c}+\frac{c-a}{ca}|<\frac{1}{16}$$

Problema

Sistema no lineal de ecuaciones

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 11:44.

Determinar todas las ternas de números reales que satisfacen el sistema de
ecuaciones siguiente:
\begin{eqnarray*}
x + y - z &=& -1\\
x^2 - y^2 + z^2 &=& 1\\
-x^3 + y^3 + z^3 &=& -1
\end{eqnarray*}

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