XVI Olimpiada Matemática de Centroamérica y el Caribe

Problema

Números divertidos

Enviado por jmd el 16 de Junio de 2014 - 16:37.

Un entero positivo n es divertido si para todo divisor positivo d de n, d+2 es un número primo. Encuentre todos los npumeros divertidos que tengan la mayor cantidad posible de divisores.

Problema

Equiláteros sobre un segmento

Enviado por jmd el 16 de Junio de 2014 - 11:40.

Se marcan los puntos A, B, C, D sobre una recta, en ese orden, con AB y CD mayores que BC. Se construyen triángulos equiláteros APB, BCQ y CDR, con P, Q y R del mismo lado respecto a AD. Si el ángulo PQR mide 120 grados, pruebe que
$$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{BC}$$

Problema

1,5,13,25...

Enviado por Paola Ramírez el 13 de Junio de 2014 - 03:40.

Con cuadrados de lado 1 se forma en cada etapa una figura en forma de escalera siguiendo el patron del dibujo 

Por ejemplo, la primera etapa utiliza un cuadrado, la segunda utiliza 5. Determine la última etapa para la cual la figura correspondiente utiliza menos de 2014 cuadrados.

Problema

Todo es cuestión de álgebra

Enviado por Paola Ramírez el 13 de Junio de 2014 - 03:25.

Sean $a,b,c$ y $d$ números todos distintos entre sí, tales que
$\frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}=4$ y $ac=bd$

Determine el máximo valor de posible de
$\frac{a}{c} +\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b}$

Problema

Así o más congruentes

Enviado por Paola Ramírez el 13 de Junio de 2014 - 03:17.

Sea  un trapecio $ABCD$ de bases $AB$  y $CD$ , inscrito en una circunferencia de radio $O$. Sea $P$ la intersección de las rectas $AD$ y $BC$ . Una circunferencia por $O$ y $P$  corta a los segmentos $BC$ y $AD$ en puntos interiores $F$ y $G$ respectivamente. Muestre que $BF=DG$ .

Problema

Números "tico"

Enviado por Paola Ramírez el 13 de Junio de 2014 - 03:06.

Un entero positivo se denomina tico si es el producto de tres números primos diferentes que suman 74. Verifique que 2014 es tico. ¿Cuál será el próximo año tico? ¿Cuál será el último año tico de la historia?

Distribuir contenido