VII OIM 1992

Problema

¿Cómo era el generalizado de senos?

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 07:31.

A partir del triángulo $T$ de vértices $A, B, C$, se construye el hexágono $H$ de vértices $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ como se muestra en la figura. Demostrar que

Problema

Construcción de un trapecio inscrito

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 07:27.

Se dan la circunferencia $\Gamma$ y los números positivos $h, m$ de modo que existe un trapecio $ABCD$, inscrito en $\Gamma$, de altura $h$ y tal que la suma de sus bases $AB$ y $CD$ es $m$. Construir el trapecio $ABCD$.

Problema

Dos sucesiones recursivas

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 07:24.

Sean $(a_n)$ y $(b_n)$ dos sucesiones de números enteros que verifican las siguientes condiciones:

  • i) $a_0 = 0, b_0 = 8$
  • ii) $a_{n+2} = 2a_{n+1}-a_n+2, b_{n+2}=2b_{n+1}-b_n$
  • iii) $a_n^2+b_n^2$ es un cuadrado perfecto para todo $n$.

Determinar al menos dos valores del par $(a_{1992}, b_{1992})$.

Problema

¿Sabes geometría analítica? (alternativa: Stewart)

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 07:22.

 En un triángulo equilátero $ABC$, cuyo lado tiene longitud 2, se inscribe la circunferencia $\Gamma$.

  • a) Demostrar que para todo punto $P$ de $\Gamma$, la suma de los cuadrados de sus distancias a los vértices $A, B$ y $C$ es 5.
  • b) Demostrar que para todo punto $P$ de $\Gamma$, es posible construir un triángulo cuyos lados tienen las longitudes de los segmentos $AP, BP$ y $CP$, y cuya área es $\sqrt{3}/4$
Problema

Suma de las raíces de un polinomio

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 07:18.

Sean dados la colección de $n$ números reales positivos $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < a_n$, y la función$$f(x)=\frac{a_1}{x+a_1}+\frac{a_2}{x+a_2}+\ldots +\frac{a_n}{x+a_n}$$ Determinar la suma de las longitudes de los intervalos, disjuntos dos a dos, formados por todos los valores de $x$ tales que $f(x)\gt 1$.

Problema

Suma de una sucesión

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 07:16.

Para cada entero positivo $n$, sea $a_n$ el último dígito del número $1+2+3+ ...+n$. Calcular $a_1 + a_2 + a_3 +\ldots+a_{1992}$.

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