XV OIM 2000

Problema

Área de un hexágono bonito

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 15:34.

Un hexágono convexo se denomina bonito si tiene cuatro diagonales de longitud 1, cuyos extremos incluyen todos los vértices del hexágono.

  • (a) Dado cualquier número $k$, mayor que 0 y menor o igual que 1, encontrar un hexágono bonito de área $k$.
  • (b) Demostrar que el área de cualquier hexágono bonito es menor que 3/2.
Problema

Juego con un montón de piedras

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 15:32.

Hay un montón de 2000 piedras. Dos jugadores juegan alternadamente, de acuerdo a las siguientes reglas:

  • (a) En cada jugada se pueden retirar 1, 2, 3, 4 ó 5 piedras del montón.
  • (b) En cada jugada esá prohíbido que el jugador retire la misma cantidad de piedras que retiró su oponente en la jugada previa.
  • (c) Pierde el jugador que en su turno no pueda realizar una jugada válida.

Determinar cuál jugador tiene estrategia ganadora y encontrarla.

Problema

Geométrica por eliminación

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 15:29.

De una progresión aritmética infinita $1, a_1, a_2\ldots,$ de números reales se eliminan términos, obteniéndose una progresión geométrica infinita: $1, a_{n_1}, a_{n_2},\ldots$ de razón $q$. Encontrar los posibles valores de $q$.

Problema

Problema diofantino

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 15:28.

Encontrar todas las soluciones de la ecuación
$$(x + 1)^y - x^z = 1$$
Para $x, y, z$ enteros mayores que 1.

Problema

Circunferencias secantes y tangente común

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 15:26.

Sean $S_1$ y $S_2$ dos circunferencias de centros $O_1$ y $O_2$, respectivamente, secantes en $M$ y $N$. La recta $t$ es la tangente común a $S_1$ y $S_2$, más cercana a $M$. Los puntos $A$ y $B$ son los respectivos puntos de contacto de $t$ con $S_1$ y $S_2$, $C$ el punto diametralmente opuesto a $B$, y $D$ el punto de intersección de la recta $O_1O_2$ con la recta perpendicular a la recta $AM$ trazada por $B$. Demostrar que $M, D$ y $C$ están alineados.

Problema

Polígono regular de n lados

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 15:25.

Se construye un polígono regular de $n$ lados ($n\geq 3$) y se enumeran sus vértices del 1 al $n$. Se trazan todas las diagonales del polígono. Demostrar que si $n$ es impar, se puede asignar a cada lado y a cada diagonal un número entero del 1 al $n$, tal que se cumplan simultáneamente las siguientes dos condiciones:

  • (a) El número asignado a cada lado o diagonal es distinto a los asignados a los vértices que une.
  • (b) Para cada vértice, todos los lados y diagonales que compartan dicho vértice
    tienen números diferentes.
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