XIII OMM 1999

Problema

Cubrimiento con fichas de dominó

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 20:23.

Se dice que un polígono es ortogonal si todos sus lados tienen longitudes enteras y cada dos lados consecutivos son perpendiculares. Demuestre que si un polígono ortogonal puede cubrirse con rectángulos de $2 \times1$ (sin que éstos se traslapen) entonces al menos uno de sus lados tiene longitud par.

Problema

Bisectrices exteriores de trapecio

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 20:20.

$ABCD$ es un trapecio con $AB$ paralelo a $CD$. Las bisectrices exteriores de los ángulos $B$ y $C$ se intersectan en $P$. Las bisectrices exteriores de los ángulos $A$ y $D$ se intersectan en $Q$. Demuestre que la longitud de $PQ$ es igual a la mitad del perímetro del trapecio $ABCD$.

Problema

Diez cuadros marcados en tablero de ajedrez

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 20:17.

En una cuadrícula de $8\times8$ se han escogido arbitrariamente 10 cuadritos y se han marcado sus centros. El lado de cada cuadrito mide 1. Demuestre que existen al menos dos puntos marcados que están separados una distancia menor o igual que $\sqrt{2}$, o que existe al menos un punto marcado que se encuentra a una distancia $1/2$ de una orilla de la cuadrícula.
 

Problema

Hexágono en triángulo: razón de áreas y concurrencia

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 20:11.

Considere un punto $P$ en el interior del triángulo $ABC$. Sean $D, E$ y
$F$ los puntos medios de $AP, BP$ y $CP$ respectivamente y $L, M$ y $N$ los
puntos de intersección de $BF$ con $CE$, $AF$ con $CD$ y $AE$ con $BD$.

  • Muestre que el área del hexágono $DNELFM$ es igual a una tercera parte del área del triángulo $ABC$.
  • Muestre que $DL, EM$ y $FN$ concurren.
Problema

Primos en sucesión aritmética

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 20:04.

Demuestre que no existen 1999 primos en progresión aritmética, todos ellos menores que 12345. (Nota: Una colección de números está en progresión aritmética si es de la forma $a, a+r, a+2r,\ldots, a+br.$)

Problema

Estrategia ganadora con fichas rojinegras

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 20:02.

Sobre una mesa se tienen 1999 fichas que son rojas de un lado y negras del otro (no se especifica cuántas con el lado rojo hacia arriba ni cuántas con el lado negro hacia arriba). Dos personas juegan alternadamente. Cada persona, en su turno, hace una de las siguientes cosas:

  • Retirar cualquier número de fichas, con la condición de que todas las fichas retiradas tengan el mismo color hacia arriba.
  • Voltear cualquier número de fichas, con la condición de que todas las
    fichas tengan el mismo color hacia arriba.

Gana el que toma la última ficha. ¿Cuál jugador puede asegurar que ganará, el primero en jugar o el segundo?

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