XIV OMM 2000

Problema

P6 OMM 2000. Configuración sobre un triángulo obtusángulo

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 20:27.

Sea $ABC$ un triángulo en el que $\angle{B} >90$ y en el que un punto $H$ sobre $AC$ tiene la propiedad de que $AH = BH$ y $BH$ es perpendicular a $BC$. Sean $D$ y $E$ los puntos medios de $AB$ y $BC$ respectivamente. Por $H$ se traza una paralela a $AB$ que corta a $DE$ en $F$. Prueba que $\angle BCF = \angle ACD$.
 

Problema

P5 OMM 2000. Operación sobre rectángulos --en tablero nxn

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 20:24.

Se tiene un tablero de $n\times n$, pintado como tablero de ajedrez. Está permitido efectuar la siguiente operación en el tablero:

  • Escoger un rectángulo en la cuadrícula de tal manera que las longitudes de sus lados sean ambas pares o ambas impares, pero que no sean las dos iguales a 1 al mismo tiempo, e
  • invertir los colores de los cuadritos de ese rectángulo.

Encuentra para qué valores de $ n $ es posible lograr que todos los cuadritos queden de un mismo color después de haber efectuado la operación el número de veces que sea necesario. (Nota: Las dimensiones de los rectángulos que se escogen pueden ir cambiando).

Problema

P4 OMM 2000. Número de primos hasta el primer compuesto

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 20:20.

Para $a$ y $b$ enteros positivos, no divisibles entre $5$, se construye una lista de números como sigue:

  • El primer número es 5 y,
  • a partir del segundo, cada número se obtiene multiplicando el número que le precede (en la lista) por $a$, y sumándole $b$.

(Por ejemplo, si $a = 2$ y $b = 4$, entonces los primeros tres números de la
lista serán: 5, 14, 32 (pues $14 = 5\cdot2 + 4$ y $32 = 14\cdot2 + 4$.)

¿Cuál es la cantidad máxima de primos que se pueden obtener en la lista antes de obtener el primer número no primo?

Problema

P3 OMM 2000. Regla aditiva --de formación de un conjunto

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 20:07.

Dado un conjunto $A$ de enteros positivos, construimos el conjunto $A'$ poniendo todos los elementos de $A$ y todos los enteros positivos que se pueden obtener de la siguiente manera:

  • Se escogen algunos elementos de $A$, sin repetir, y a cada uno de esos números se le pone el signo $+$ o el signo $-$;
  • luego se suman esos números con signo, y el resultado se pone en $A'$.

Por ejemplo, si $A = {2, 8, 13, 20}$, entonces algunos elementos de $A'$ son 8 y 14 (pues 8 es elemento de $A$, y 14 = 20+2-8).

Problema

P2 OMM 2000. Triángulo de números --con regla simple de formación

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 19:59.

Se construye un triángulo como el de la figura, pero empezando con los números del 1 al 2000.

Problema

P1 OMM 2000. Puntos de tangencia concíclicos

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 19:56.

Sean $A, B, C, D$ circunferencias tales que $A$ es tangente exteriormente a $B$ en $P$, $B$ es tangente exteriormente a $C$ en $Q$, $C$ es tangente exteriormente a $D$ en $R$, y $D$ es tangente exteriormente a $A$ en $S$. Supón que $A$ y $C$ no se intersectan, ni tampoco $B$ y $D$.

  • Prueba que los puntos $P, Q, R$ y $S$ están todos sobre una circunferencia.

Supón además que $A$ y $C$ tienen radio 2, $B$ y $D$ tienen radio 3, y la distancia entre los centros de $A$ y $C$ es 6.

  • Determina el área del cuadrilátero $PQRS$.
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