XVIII OMM 2004

Problema

P6 OMM 2004. Cambios de dirección en cuadrícula 2004X2004

Enviado por jmd el 24 de Julio de 2010 - 10:03.

¿Cuál es el mayor número posible de cambios de dirección en un recorrido sobre las líneas de una cuadrícula de $2004\times 2004$ casillas, si el recorrido no pasa dos veces por el mismo lugar?

Problema

P5 OMM 2004. Dos circunferencias

Enviado por jmd el 24 de Julio de 2010 - 09:59.

Sean $\alpha$ y $\beta$ dos circunferencias tales que el centro $O$ de $\beta$ está sobre $\alpha$. Sean $C$ y $D$ los dos puntos de intersección de las circunferencias. Se toman un punto $A$ sobre $\alpha$ y un punto $B$ sobre $\beta$ tales que $AC$ es tangente a $\beta$ en $C$ y $BC$ es tangente a $\alpha$ en el mismo punto $C$. El segmento $AB$ corta de nuevo a $\beta$ en $E$ y ese mismo segmento corta de nuevo a $\alpha$ en $F$. La recta $CE$ vuelve a cortar a $\alpha$ en $G$ y la recta $CF$ corta a la recta $GD$ en $H$. Prueba que el punto de intersección de $GO$ y $EH$ es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $DEF$.

Problema

P4 OMM 2004. Número de equipos en un torneo

Enviado por jmd el 24 de Julio de 2010 - 09:47.

Al final de un torneo de futbol en el que cada par de equipos jugaron entre si exactamente una vez y donde no hubo empates, se observó que para cualesquiera tres equipos $A, B, C,$ si $A$ le ganó a $B$ y $B$ le ganó a $C$ entonces $A$ le ganó a $C$. Cada equipo calculó la diferencia (positiva) entre el número de partidos que ganó y el número de partidos que perdió. La suma de todas estas diferencias resultó ser 5000. ¿Cuántos equipos participaron en el torneo? Encuentra todas las respuestas posibles.

Problema

P3 OMM 2004. Configuración con incírculo y punto medio

Enviado por jmd el 24 de Julio de 2010 - 09:39.

Sean $Z,Y$ los puntos de tangencia del incírculo del triángulo $ABC$ con los lados $AB,CA,$ respectivamente. La paralela a $YZ$ por el punto medio $M$ del lado $BC,$ corta a $CA$ en $N$. Sea $L$ el punto sobre $CA$ tal que $NL = AB$ (y $L$ del mismo lado de $N$ que $A$). La recta $ML$ corta a $AB$ en $K$. Muestra que $KA = NC$.

Problema

P2 OMM 2004. Diferencia no menor que el centésimo del producto

Enviado por jmd el 24 de Julio de 2010 - 09:27.

¿Cuál es la mayor cantidad de enteros positivos que se pueden encontrar de
manera que cualesquiera dos de ellos $a$ y $b$ (con a $a\neq b$) cumplan $|a-b|\geq{\frac{ab}{100}$?

Problema

P1 OMM 2004 - Problema 1

Enviado por jose el 13 de Febrero de 2009 - 00:39.

Encuentra todos los números primos $p,q, r$ con $p$<$ q$ <$r$ , que cumplan
con $25pq+ r= 2004$ y que $pqr+ 1 $ sea un cuadrado perfecto

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