XXI OMM 2007

Problemas de la XXI Olimpiada Mexicana de Matemáticas de 2007
Problema

Uno de "si y sólo si" con escaleno

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 06:44.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB>AC>BC$. Sea $D$ un punto sobre el lado $AB$ de tal manera que $CD = BC$, y sea $M$ el punto medio del lado $AC$. Muestra que $BD = AC$ si y sólo si $\angle{BAC} = 2\angle{ABM}.$

Problema

Cambios de estado en cuadrícula 6X6 --con luciérnagas

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 06:38.

En cada cuadrado de una cuadrícula de $6\times6$ hay una luciérnaga apagada o encendida. Una movida es escoger tres cuadrados consecutivos, ya sean los tres verticales o los tres horizontales, y cambiar de estado a las tres luciérnagas que se encuentran en dichos cuadrados. (Cambiar de estado a una luciérnaga significa que si está apagada se enciende y si está encendida se apaga.) Muestra que si inicialmente hay una luciérnaga encendida y las demás apagadas, entonces no es posible hacer una serie de movidas tales que al final todas las luciérnagas estén apagadas.

Problema

Composición de la función "suma de sus dígitos"

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 06:29.

Para un entero positivo $ n $ se definen $n_1$ como la suma de los dígitos de $ n $, $n_2$ como la suma de los dígitos de $n_1$, y $n_3$ como la suma de los dígitos de $n_2$.

Por ejemplo para $n = 199$, $n_1 = 199_1 = 19, n_2 = 199_2 = 10$ y $n_3 = 199_3 = 1$.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(m, n)$ tales que:$$m + n = 2007$$ $$m_3 + n_3 = 2007_3$$

Problema

Desigualdad homogenea

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 06:20.

Sean $a, b, c$ números reales positivos que satisfacen $a+b+c = 1$.
Muestra que: $$\sqrt{a + bc} + \sqrt{b + ca} + \sqrt{c + ab}\leq 2.$$

Problema

Lugar geométrico equiangular

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 06:14.

Dado un triángulo equilátero $ABC$, encuentra todos los puntos $P$ del plano que cumplan $\angle{APB} = \angle{BPC}$.

Problema

Diez consecutivos son divisores --pero no 11

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 06:09.

Encuentra todos los enteros positivos $N$ con la siguiente propiedad: entre todos los divisores positivos de $N$, hay 10 números consecutivos, pero no 11.

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