OME 1993 Madrid

Problema

Un juego de azar

Enviado por jmd el 19 de Diciembre de 2011 - 20:41.

Una máquina de juego de un casino tiene una pantalla en la que se ofrece un esquema como el de la figura.


Para comenzar el juego aparece una bola en el punto $S$. A cada impulso que recibe del jugador, esa bola se mueve hasta una de las letras adyacentes con la misma probabilidad para cada una de ellas. La partida termina al ocurrir el primero de los dos hechos siguientes:

  • a) La bola vuelve a $S$ y entonces el jugador pierde.
  • b) La bola llega a $G$ y entonces el jugador gana.

Se pide la probabilidad de que el jugador gane y la duración media de las partidas.

Problema

Distancias entre puntos de una cuadrícula

Enviado por jmd el 19 de Diciembre de 2011 - 20:37.

Se dan 16 puntos formando una cuadrícula como en la figura

De ellos se han destacado $A$ y $D$. Se pide fijar,de todos los modos posibles, otros dos puntos $B$ y $C$ con la condición de que las seis distancias determinadas por los cuatro puntos sean distintas. En ese conjunto de cuaternas, estudiar:

Problema

Múltiplos de un primo escritos con puros unos

Enviado por jmd el 19 de Diciembre de 2011 - 20:33.

 Demostrar que para todo número primo $p$ distinto de 2 y de 5, existen infinitos múltiplos de $p$ de la forma 1111...1 (escrito sólo con unos).

Problema

Desigualdad con inradio y circunradio

Enviado por jmd el 19 de Diciembre de 2011 - 20:32.

Justificar razonadamente que, en cualquier triángulo, el diámetro de la circunferencia inscrita no es mayor que el radio de la circunferencia circunscrita.

Problema

Triángulo aritmético

Enviado por jmd el 19 de Diciembre de 2011 - 20:30.

Sea dado el triángulo aritmético

0 1 2 3 4 ............. 1991 1992 1993
 1 3 5 7...................... 3983 3985
  4 8 12............................. 7968
...
(donde cada número es la suma de los dos que tiene encima, cada fila tiene un número menos y en la última sólo hay un número). Demostrar que el último número es múltiplo de 1993.

Problema

Pichoneras de nacionalidad, edad y sexo

Enviado por jmd el 19 de Diciembre de 2011 - 20:27.

En una reunión hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes. Se sabe que, en cada grupo de 6, al menos dos tienen la misma edad. Demostrar que hay al menos 5 personas del mismo país, de la misma edad y del mismo sexo.

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