Tamaulipas 2010

Problema

Distancia a la otra tangente común

Enviado por jmd el 18 de Junio de 2010 - 12:33.

Considere dos circunferencias de radios $r$ y $R$, y centros $B$ y $C$, respectivamente. Demostrar que si $A$ es un punto sobre una tangente externa común a las dos circunferencias, y es equidistante a los centros de éstas, entonces la distancia de $A$ a la otra tangente externa común es $r+R$.

Problema

Dos desigualdades y una ecuación

Enviado por jmd el 18 de Junio de 2010 - 12:27.

a) Demostrar que para todas las parejas $a,b$ de números reales se cumplen las desigualdades:
$$(a^2+1)(b^2+1)\geq(ab+1)^2$$
$$(a^2+1)(b^2+1)\geq(a+b)^2$$
b) Decir, con prueba, para qué valores se cumple la igualdad en cada una de las desigualdades anteriores.

c) Encontrar todas las soluciones $(x,y)$ en números reales, de la ecuación $(x^2+1)(y^2+1)=(xy+1)(x+y)$

Problema

No podrían saludar sólo a uno

Enviado por jmd el 18 de Junio de 2010 - 12:13.

Cada uno de los 61 competidores en el concurso estatal saludó de mano al menos a otro competidor. Demostrar que alguno de ellos saludó de mano al menos a dos competidores.

Problema

Múltiplo de 1001

Enviado por jmd el 18 de Junio de 2010 - 12:07.

Demostrar que el número 100...001, el cual tiene doscientos ceros intermedios, es múltiplo de 1001.

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