Regional OMM Tamaulipas 2014

Demostrar que $8p^2+1$ no es primo para ningún primo $p$ mayor que 3. 

Las diagonales de un cuadrado ABCD se cortan en E, la bisectriz del ángulo DBC corta a la diagonal AC en P y al lado CD en Q. Demostrar que DQ mide el doble que PE.

Van a viajar 27 personas en un autobús turístico que puede llevar 12 adentro y 15 afuera (en la parte superior). De las 25 personas, 5 piden ir afuera y 6 piden ir adentro. Si complacemos estas peticiones  ¿de cuántas formas pueden ser distribuidas las personas en el autobús?  (Considere que el orden en que se acomodan en los asientos es irrelevante, solamente importa quienes van adentro y quienes afuera.)

Un hombre camina durante 5 horas. Primero lo hace a lo largo de un tramo a nivel, después subiendo una loma. Al llegar arriba se regresa y recorre el camino a lo largo de la misma ruta pero de regreso. Caminó a 4 km/h en el camino a nivel, a 3 km/h de subida y a 6 km/h de bajada. Encontrar la distancia que recorrió.