Problemas - Combinatoria

Problema

P3 OMM 1992. Siete puntos en hexágono

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 09:58.

Considere siete puntos dentro o sobre un hexágono regular y pruebe que
tres de ellos forman un triángulo cuya área es menor o igual que $\frac{1}{6}$ del
área del hexágono.

Problema

P2 OMM 1992. Cuartetas y múltiplos de un primo

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 09:47.

Sea $p$ un número primo, diga cuántas cuartetas distintas $(a, b, c, d)$ existen, con a, b, c y d enteros y $0 \leq a, b, c, d \leq p-1$, tales que $ad - bc$ sea múltiplo de $p$.

Problema

P1. OMM 1990. Paseos en una cuadrícula

Enviado por jmd el 7 de Julio de 2010 - 02:12.

Encuentre el total de caminos que hay del punto $A$ a línea $l$ en la red de la siguiente figura, si en un camino solo está permitido ir hacia la izquierda.

Problema

P6. OMM 1989. Trayectorias en retícula triangular

Enviado por jmd el 6 de Julio de 2010 - 11:25.

Siguiendo las líneas de la figura ¿Cuántos caminos hay para ir del punto $A$ al punto $B$ que no pasen dos veces por el mismo punto y que solo avancen hacia abajo y hacia los lados pero no hacia arriba?
 


 

Problema

P7. OMM 1988. Subconjuntos ajenos de {1,2,...,m}

Enviado por jmd el 5 de Julio de 2010 - 19:18.

Si $A$ y $B$ son subconjuntos ajenos del conjunto $\{1,2,\ldots,m\}$ y la suma de los elementos de $A$ es igual a la suma de los elementos de $B$, pruebe que el número de elementos de $A$ y también de $B$ es menor que $m/\sqrt{2}$
 

Problema

P4. OMM 1988. Ocho enteros entre uno y ocho

Enviado por jmd el 5 de Julio de 2010 - 19:07.

¿Cuántas maneras hay de escoger ocho enteros $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_8$ no necesariamente distintos, tales que $1\leq{a_1}\leq\ldots\leq{a_8}\leq8$?
 

Problema

Embaldosado de un patio

Enviado por jmd el 25 de Junio de 2010 - 11:28.

Se desea embaldosar un patio cuadrado de lado $N$ entero positivo. Se dispone de dos tipos de baldosas: cuadradas de $5\times5$, y rectangulares de $1\times3$. Determine los valores de $N$ para los cuales es posible hacerlo. Nota: el patio debe quedar completamente cubierto sin que las baldosas se sobrepongan.

Problema

Mover una ficha en un tablero

Enviado por jmd el 25 de Junio de 2010 - 11:26.

Un jugador coloca una ficha en una casilla de un tablero $m\timesn$ dividido en cuadrados de tamaño $1\times1$. El jugador mueve la ficha de acuerdo a las siguientes reglas:

  • En cada movida, el jugador mueve la ficha a un cuadrado que comparte un lado  con el cuadrado en que se encuentra.
  • El jugador no puede mover la ficha a un cuadrado que ha ocupado previamente.
  • Dos movimientos consecutivos no pueden tener la misma dirección.

El juego termina cuando el jugador no puede mover la ficha. Determine todos los valores de $m$ y $ n $ tales que, al colocar la ficha en algún cuadrado, todos los cuadrados pueden ser ocupados durante el juego.

 

Problema

No podrían saludar sólo a uno

Enviado por jmd el 18 de Junio de 2010 - 12:13.

Cada uno de los 61 competidores en el concurso estatal saludó de mano al menos a otro competidor. Demostrar que alguno de ellos saludó de mano al menos a dos competidores.

Problema

Problema 2

Enviado por sadhiperez el 29 de Mayo de 2010 - 21:46.

Sea S el conjunto de puntos (i,j) de coordenadas enteras en el plano, con i,j=0,1,2,...,9.

 
a) ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro puntos de S de manera que formen un cuadrado con lados paralelos a los ejes de coordenadas?
 
b) ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro puntos en S de manera que formen un cuadrado?