Problemas - Combinatoria

Problema

XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 6)

Enviado por jesus el 23 de Septiembre de 2009 - 13:02.

Alrededor de una circunferencia se marcan 6000 puntos y cada uno se colorea con uno de 10 colores dados, de manera tal que entre cualesquiera 100 puntos consecutivos siempre figuran los 10 colores. Hallar el menor valor k con la siguiente propiedad: Para toda coloración de este tipo existen $k $ puntos consecutivos entre los cuales figuran los 10 colores.

Problema

XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 1)

Enviado por vmp el 22 de Septiembre de 2009 - 11:58.

Sea $ n $ un natural mayor que 2. Supongamos que $ n $ islas están ubicadas en un círculo y que entre cada dos islas vecinas hay dos puentes como en la figura:

Problema

¿Cómo lograr más con menos?

Enviado por jmd el 13 de Septiembre de 2009 - 09:02.

Del conjunto de números $\{1,2,...,99,100\}$ se eligen 50. Si la suma de los números elegidos es 2900, calcular el número mínimo de números pares entre los 50 elegidos.

Problema

Inferencias de paridad

Enviado por jmd el 28 de Agosto de 2009 - 19:14.

Sea $n\geq2$ un entero. Los números $x_1,x_2,\ldots,x_n$ son elementos del conjunto $\{-1,1\}$ y cumplen la ecuación $x_1x_2+x_2x_3+\ldots+x_nx_1=0$. Demostrar que $ n $ es múltiplo de 4.

Problema

Adictos al Xbox

Enviado por jmd el 28 de Agosto de 2009 - 19:06.

Los adolescentes de una preselección olímpica de matemáticas tienen una actividad de entretenimiento favorita: 17 son adictos al Xbox (conjunto A1), 13 a las series americanas de TV (A2), 8 a la resolución de problemas de concurso (A3), y 6 no tienen actividad recreativa conocida.

Problema

Biblioteca

Enviado por jmd el 15 de Agosto de 2009 - 05:54.

En mi biblioteca hay 5 libros de álgebra, 6 de combinatoria, y 8 de geometría, y todos son diferentes.
a) ¿De cuántas formas puedo elegir dos?
b) ¿De cuántas formas puedo elegir dos del mismo tema?
c) ¿De cuántas formas puedo elegir dos pero que no sean del mismo tema?

Problema

Los cuadernos del Chico Fresa

Enviado por jmd el 7 de Agosto de 2009 - 14:26.

El Chico Fresa recién regresó de Italia y les trajo cuadernos a sus cuates. ¿De cuántas formas puede distribuir los 15 Moleskine entre 4 de sus amigos, bajo la condición de que a Baldo le toquen al menos 3, a Carlos al menos 2 y a Daniel al menos 1? (Nota: a Eulogio le puede tocar cualquier número --lo siento el chico fresa tiene sus preferidos.)

Problema

Problema 4 OIM 1997

Enviado por jesus el 1 de Agosto de 2009 - 23:20.

 Sea n un entero positivo. Consideremos la suma $x_1y_1 + x_2y_2 + \ldots + x_ny_n$, donde los valores que pueden tomar las variables $x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n$ son únicamente 0 y 1. Sea $I(n)$ el número de $2n$-adas $(x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n)$ para las cuales el valor de la suma es un número impar y sea $P(n)$ el número de $2n$-adas $(x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n)$ para las cuales la suma toma valor par. Probar que

$$\frac{P(n)}{ I(n)}=\frac{2^n + 1}{2^n - 1}$$

Problema

P1. OMM 1988. Siete pelotas blancas y cinco negras

Enviado por jmd el 1 de Agosto de 2009 - 18:27.

¿De cuántas formas se pueden acomodar en línea recta siete pelotas blancas y cinco negras, de tal manera que no estén dos pelotas negras juntas?

Problema

L1.P17 (Galletas de chocolate y almendras)

Enviado por jmd el 2 de Julio de 2009 - 10:54.

Un lote de galletas contiene galletas con almendras, galletas con chocolate, galletas con los dos ingredientes y otras que no contienen ninguno de los dos. Se encontró que 3/10 tienen almendras, 1/2 tienen chocolate y 3/28 tienen ambos ingredientes. Sin embargo se encontró que 172 galletas no tienen ninguno de los dos ingredientes.