la clave secreta

Primero encontraremos todas las claves cuyo primer digito es impar:

Para el impar podemos escoger 5 números (1, 3, 5, 7 o 9) por lo que hay 5 opciones para éste. Para los pares podemos escoger 5 números (0, 2, 4, 6 o 8). Como exactamente un par se repite, y tenemos que escoger cuatro pares, entonces tendremos 3 pares diferentes A, B y C.

Ahora queremos saber cuántos conjuntos de 3 pares diferentes se pueden tomar de entre 5 pares que tenemos para escoger. Esto es lo mismo que decir: de cuántas formas podemos tomar 3 de 5 elementos o combinaciones de 3 tomados de a 5, esto es:

5!/[(5-3)!3!]=5!/2!3!=5.4.3!/2!3!=10

Tenemos 10 conjuntos de 3 números diferentes ABC que podemos tomar de entre 5. Sin embargo, un número se repite. Estos serían los acomodos cuando un número se repite y cumple la condicion de que no puede estar adjacente a su repeticion:

ABCA

ABAC

BACA

Pero también debemos contar cuando B y C se permutan, ya que son diferentes:

ACBA

ACAB

CABA

Entonces tenemos 6 acomodos diferentes cuando A se repite, pero también puede ser B o C el que se repita. Entonces tenemos que considerar estas situciones. Nos damos cuenta que serán los mismos 6 acomodos que cuando A se repite, sólo que en este caso será B el que se repite, y A y C los que se permuten; o C el que se repite, y A y B los que se permuten.

Entonces tenemos 6 acomodos para cuando A se repite, 6 para cuando B se repite, y 6 para cuando es C lo haga. Entonces tenemos en total 18 acomodos distintos para un conjunto de 3 números diferentes ABC.

Pero tenemos 10 conjuntos de números diferentes ABC, por lo que hay 18 acomodos para cada uno. O sea, 10·18= 180 acomodos.

Hasta aqui contamos los acomodos para los útimos cuatro dígitos, ya que dijimos que el primero sería impar; y tenemos 5 formas de escogerlo. Entonces hay 5 claves diferentes para cada uno de los acomodos de los conjuntos, por lo que hay 180·5= 900 claves que empiezan con un impar.

Ahora contaremos las claves en las cuales un impar no aparece en la primera posicion:

Consideremos el caso anterior, donde teniamos los acomodos de los 4 pares juntos. Ahora el impar no irá en la primera posicion, por lo que puede ir entre los pares. Para el caso de ABCA se tiene:

AIBCA

ABICA

ABCIA

El impar no puede ir en la última posición, ya que la clave es un número par, y todos los números pares terminan en par.

Ahora se puede apreciar que para cada acomodo de los pares se hacen 3, agregando el impar en las posiciones 2, 3 y 4. (Como los acomodos de los pares cumplían con las condiciones establecidas, si agregamos el impar entre ellos, entonces seguirán cumpliendo, ya que no lo agregamos en la última posicion.)

Entonces hay 18·3= 54 acomodos para los impares entre los acomodos pares. Sin embargo, existen acomodos pares que no cumplían con las condiciones y que al agregar el impar entre ellos ahora cumplen. Estos son:

AIABC

BAIAC

BCAIA

Más las permutaciones de B y C, dan 6. Y agregando los casos en que es B o C el que se repite, entonces tenemos 6·3= 18. Más los acomodos que contamos antes, son 54 + 18 = 72 acomodos para cada conjunto de 3 números diferentes ABC.

Como tenemos 10 conjuntos, entonces hay 72·10 = 720. Pero como tenemos 5 opciones diferentes para escoger el impar, entonces hay 720·5 = 3600. Éste es el total de claves para cuando no empiezan con impar.

Nota: el 0 puede ir en la primera posicion ya que se trata de una clave de 5 digitos y no un número de 5 digitos, donde el cero en la primera posicion no se considera.

Ahora, sumando las claves que empiezan con impar y las que no, nos da 900 + 3600 = 4500 claves que cumplen las condiciones.

AUTOR: Sergio Arturo Vargas Magaña