Para cada par de números naturales $a,b>1$ definamos $P_{a \times b}$ como el polígono que se forma a partir de un rectángulo de $a \times b$ removiendo dos cuadrados de $1 \times 1$ en dos esquinas opuestas . Demuestra que $P_{a \times b}$ se puede cubrir con rectángulitos de $1 \times 2$ sin que se traslapen si y sólo si $ a $ y $ b $ tienen distinta paridad.
Sugerencia
Solución
Solución:
($ \Leftarrow $) Primero supongamos que $ a $ y $ b $ tienen distinta paridad y demostremos que el polígono se puede cubrir con rectangulitos de $ 1 \times 2 $.
Supongamos que $ a $ es par y $ b $ es impar. Podemos dividir al polígono en 3 regiones como se muestra en la figura. La región central (la región roja) tendrá base $ a-2 $ (par) y altura $ b $, y entonces se podrá rellenar esta región con $ \frac{a-2}{2} \times b $ rectangulitos con $ \frac{a-2}{2} $ de base y $ b $ de altura. Sólo basta acomodar los rectángulos de forma hotizontal. Las regiones azules tienen base 1 y altura b-1. Pero b-1 es par pues b es impar. Entonces estas regiones se pueden rellenar con $ \frac{b-2}{2} $ rectangulitos acomodados en forma vertical.
De la misma forma se puede probar que con $ a $ impar y $ b $ par se puede rellenar.
$ \Rightarrow $) Ahora demostremos que si el polígono se puede rellenar con rectangulitos de $ 1 \times 2 $ entonces $ a $ y $ b $ deberán tener distinta paridad.
Consideremos primero el caso donde a y b son impares. Digamos $ a=2k+1 $ y $ b=2l+1 $ entonces el área del polígono tendrá área impar: $ 4kl + 2k + 2l - 1 $ pero entonces no se podría cubrir con cuadritos de $ 1 \times 2 $ pues resultaría un área par.
Ahora veamos el caso del polígono de base $ a $ y altura $ b $ con $ a $, y $ b $ pares. Para ver que no es posible cubrir este polígono consideremos la coloración de ajedrez. Si coloreamos la base del rectángulo de $ a \times b $ de izquierda a derecha y empezamos en negro. Tendremos $ \frac{a}{2} $ cuadritos negros y $ \frac{a}{2} $ cuadros blancos. En total tendremos la misma cantidad de cuadros negros que de blancos en el rectángulo de $ a \times b $: $ b \times \frac{a}{2} $. Para formar el polígono necesitamos restar 2 cuadros de las esquinas opuestas. Pero cada par de esquinas opuestas es del mismo color. Digamos que quitamos las 2 esquinas negras. Así obtendremos más cuadros blancos que negros. Pero cada rectangulito de $ 1 \times 2 $ que utilicemos para cubir el polígono siempre abarcará exactamente un cuadro negro y un cuadro blanco. Por lo que necesitaríamos que el polígono estuviera coloreado con el mismo número de blancas que de negras.
