La hormiga, el mago y la lava (OMM 2021 P3)

Versión para impresión
Sin votos (todavía)

Sean $m,n \geq 2$ dos enteros. En una cuadrícula de $m \times n$, una hormiga empieza en cuadrito inferior izquierdo y quiere camina al cuadradito superior derecho. Cada paso que da la hormiga debe ser a un cuadrito adyacente, de acuerdo a las siguientes posibilidades $\uparrow$, $\rightarrow$ y $\nearrow$. Sin embargo, un malvado mago ha dejado caer lava desde arriba y ha destruido algunos cuadritos de forma tal que:

  • Si un cuadrito está destruido, entonces todos los cuadritos superiores a él también están destruidos.
  • El número de cuadritos destruidos es mayor o igual a 0.
  • Quedan suficientes cuadritos sin destruir para que la hormiga pueda llegar a la meta

Sea $P$ el número de caminos de longitud par que puede seguir la hormiga. Sea $I$ el número de caminos de longitud impar que puede seguir la hormiga. Encuentra los posible valores de $P-I$

Nota. La longitud de un camino es el número de pasos que da la hormiga. Por ejemplo, se muestra un posible camino de longitud 8 en la figura de $6 \times 7$ siguiente, en la que los cuadritos destruidos están sombreados y la meta está indicada con una estrella.